О числе точек в отрезке

Выпишем из Википедии ряд основных понятий математики и проанализируем их на предмет
соответствия друг другу.

Точка — одно из фундаментальных понятий математики, абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик (нульмерный объект). Для наглядности ограничимся евклидовой геометрией.В евклидовой геометрии точка — это неопределяемое понятие, на котором строится геометрия, то есть точка не может быть определена в терминах ранее определённых объектов. Иными словами, точка определяется только некоторыми свойствами, называемыми аксиомами, которым она должна удовлетворять. В частности, геометрические точки не имеют никакой длины, площади, объёма или какой-либо другой размерной характеристики. Распространённым толкованием является то, что понятие точки предназначено для обозначения понятия уникального
местоположения в евклидовом пространстве.
Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок обычно обозначается [a,b]. Число b- a называется длиной числового отрезка [a,b].
Вырожденными называют математические объекты, обладающие принципиально более простой структурой и смыслом по сравнению с остальными объектами в своём классе, то есть такие, которые, даже будучи взятыми вместе, не дают полного представления о всём классе.
Множество — одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством.
Если концы отрезка совпадают (a=b), то говорят о вырождении отрезка в точку. Такой вырожденный отрезок нельзя причислить к множеству отрезков, поскольку он не обладает общим для всех отрезков характеристическим свойством – длиной (обладает нулевой длиной).

В связи с вышесказанным заметим, что отрезок не может состоять из отрезков нулевой длины, поскольку операция деления на ноль в математике запрещена. То есть отрезок не может быть составлен из точек. Нельзя говорить о том, что отрезок – множество точек. Правильным ответом на вопрос о числе точек в отрезке будет не множество мощности континуум, а нуль. Ни в отрезке, ни в прямой точек, как составных частей (элементов множества), нет.
Составление из нульмерных объектов объекты, имеющие размерность, можно назвать актом Творения, так как размерность выбирается произвольно. Это могли бы быть и метры, и секунды, и килограммы. В связи с чем можно было бы задавать вопросы типа: сколько (множество какой мощности) секунд в килограмме?
Таким образом, отрезок не может являться примером актуальной бесконечности, а утверждение о существовании множеств с мощностью больше мощности счётного множества ничем не подтверждено.
1



Редактировалось 1 раз(а). Последний 19.07.2021 01:16.

А у меня прививка от алефов и булеанов. Попробуйте привиться. Полезно.

Причина не в промежутках между точками. В любой промежуток можно п оставить множество точек. Дело в том, что невозможно заполнить точками весь отрезок. Всегда можно будет поставить ещё бесконечное множество точек. А это говорит о некорректности понятия ВСЕ для бесконечного числа точек, то есть о некорректности понятия "актуальная бесконечность/", на которой основана теория множеств Кантора.. Вывод - Кантора в топку. Бесконечное множество может быть только счётным. Впрочем, это и так понятно: если множество состоит из отдельных элементов, то нет причин, мешающих прир пересчёте досчитать до любого из них.

Точка - предел линии. Ее размерность на единицу меньше, чем у линии. Отрезок не состоит из точек так же, как площадь не состоит из линий, а объем не состоит из площадей. Точка - производная длины отрезка по ее дифференциалу. В подынтегральном выражении этого интеграла: $\int$_a^b1dx это 1 на месте подынтегральной функции.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 09.08.2021 18:12.

читайте

Цитата
borisgrinevich
Дело в том, что невозможно заполнить точками весь отрезок. Всегда можно будет поставить ещё бесконечное множество точек. .

Если не очень трудно, пожалуйста,приведите доказательство процитированого утверждения. Если еще дадите совсем точную формулировку, будет еще лучше.

Цитата
borisgrinevich
Точка — одно из фундаментальных понятий математики, абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик (нульмерный объект). Отрезок имеет длину. В силу нульмерности сколько точек мы бы ни отметили на отрезке, места они не займут. Грубо говоря, их общая длина будет нулевой. То есть, на отрезке остаётся место для постановки новых точек в любом количестве. Неопределённость вида 0∙ꚙ не возникает в силу того, что мы имеем "чистый" нуль, а не приближение к нулю. Любую попытку из нульмерных точек создать что-то одномерное можно назвать актом Творения. Размерность этого сотворённого чуда очевидно должна выбираться произвольно, что и сделал Кантор, создавая из точек то отрезок, то квадрат, то n-мерное тело)) Очевидно, что этого делать нельзя.
Отрезок и прямую можно составить из более мелких отрезков, пусть их длина даже будет стремиться к нулю. Это и делается при интегрировании.

Цитата

В силу нульмерности сколько точек мы бы ни отметили на отрезке, места они не займут.

Докажите, пожалуйста

Цитата

Грубо говоря, их общая длина будет нулевой.

Докажите, пожалуйста, без грубостей

[

Точка и прямая понятия аксиоматические и одно через другое не выражается никак, тем не менее, в силу однозначного соответствия вещественных чисел точкам на числовой оси мы можем на некотором отрезке [А В] (В>А) отметить бесконечное число точек Cn (n→ꚙ). По аналогии с длиной отрезка определим "длину" точки как расстояние между её концами. Длина точки с координатой Сn составит Сn -Сn=0. Сумма длин точек, отмеченных на отрезке, будет равна сумме нолей, то есть нолю. Длина отрезков, на которых нет ни одной точки будет равна В-А=L. Это означает, что существует по крайней мере один отрезок с ненулевой длиной, на котором не отмечено ни одной точки. Обозначим его [D E]. В этом отрезке можно отметить бесконечное число точек вида D плюс (E-D), делённое на 2 в степени n, что и требовалось доказать.
Заранее скажу, что все заявления типа давайте возьмём все точки отрезка бессмысленны ввиду того, что отрезок не состоит из точек. Прежде, чем вводить актуальную бесконечность, предлагаю желающим доказать, что это можно делать.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 12.08.2021 17:00.

Цитата

Длина всех точек, отмеченных на отрезке, будет равна сумме нолей, то есть нолю.

Понятие 'длина всех точек' не определено.
После того, как определите,
докажите, что 'длина всех точек' на отрезке равна длине отрезка.

Цитата

Что же касается выражения "длина всех точек на отрезке", то я категорически против его применения,

Странно. Ведь Вы же его только что применили.

Цитата

Сумма длин точек, отмеченных на отрезке, будет равна сумме нолей, то есть нолю

Вы, пожалуйста, ОПРЕДЕЛИТЕ, что такое сумма бесконечного количества чисел,
а потом докажите процитированное утверждение. Докажите, что сумма бесконечного количества нулей равна нулю.
Только не говорите, что Вы отмечаете только конечное множество точек, поскольку

Цитата

В этом отрезке можно отметить бесконечное число точек вида (E-D),

Редактировалось 1 раз(а). Последний 12.08.2021 17:11.