Пост про мехмат и интеграл Римана в LiveJournal

Автор темы misgin005gmail.com 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
Форумы Список тем Новая тема
02.09.2021 09:54
r-aax
.
Цитата
misgin005gmail.com
1. Переменная - это семейство констант?

2. Или семейство констант - это множество?

3. По Эйлеру: функция переменной - это определенный порядок математических действий, которыми переменная связана с установленным набором чисел и параметров. Почему "семейство функций" определяется только действием сложения?

4. Я, например, согласен с Эйлером в его определении "функции". Почему ваша математическая ботаника так упорно стремится заменить переменную множеством? Ведь множество - дискретно и поэтому не дифференцируемо, так ведь?

1. Переменная - величина, которая в рамках рассматриваемого вопроса принимает различные значения. Вот множество значений этой переменной можете рассматривать, если хотите, как семейство констант.

2. Семейство, набор, множество - это все синонимы.

3. А еще у Эйлера есть такое определение: Если $x$ обозначает переменное количество, то все количества, которые как-либо зависят от $x$, т. е. определяются им, называются его функциями. У Фихтенгольца данное определение звучит следующим образом: ... если по некоторому правилу или закону каждому значению $x$ ставится в соответствие одно определенное значение $y$.

Почему семейство функций, составляющее неопределенный интеграл, определяется действием сложения? Это доказывается в отдельной теореме: Если $F(x)$ есть первообразная $f(x)$, то и функция $F(x) + C$ также будет ее первообразной. Верно и обратное.

4. Хороший перл.

Цитата
misgin005gmail.com
Ведь множество - дискретно и поэтому не дифференцируемо, так ведь?

С чего Вы взяли, что любое множество дискретно?
Ответить Цитировать
02.09.2021 11:30
misgin005gmail.com
Эйлер свои мысли излагает последовательно
Цитата
r-aax

Оставлю тут эту цитату снова.

Цитата
Л. Эйлер "Интегральное исчисление"
Всегда существует бесконечное число функций, имеющих один и тот же дифференциал, поскольку дифференциал функции $P + C$, какое бы значение ни придать постоянному $C$, всегда один и тот же и равен $dP$. Поэтому и обратно, если предложен дифференциал $dP$, то интеграл есть $P + C$, где вместо $C$ можно положить какое угодно постоянное количество.

Семейство функций в чистом виде.

Посмотрите, Здесь Эйлер ПОКА не акцентирует внимание на ПОЛНОТЕ и ЧАСТНОСТИ интеграла.

А вот ЗДЕСЬ он именно на этом акцентирует внимание и пишет, что ВОТ ТАК ВЫГЛЯДИТ ПОДЛИННЫЙ ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ. Тут уже нет константы интегрирования. ЭТО БОЛЕЕ ОБЩИЙ ВИД определенного интеграла. Понимаете? В БОЛЕЕ ОБЩЕМ ВИДЕ определенного интеграла УЖЕ НЕТ КОНСТАНТЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Она нужна только в случае ЧАСТНОГО ИНТЕГРАЛА. А в ПОЛНОМ ИНТЕГРАЛЕ ее УЖЕ НЕТ!

Именно об этом говорят ДВЕ формулы, ОТКРЫТЫЕ МНОЮ.

Посмотрите на определение действия дифференцирования. ДИФФЕРЕНЦИАЛ АРГУМЕНТА находится ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО в области значений аргумента. А константа интегрирования находится ВНЕ этой области. Поэтому КОНСТАНТА не может быть результатом интегрирования ПО ПОЛНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛУ. Она появляется только в результате интегрирования по ЧАСТНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛУ. Потому, что интегрирование по частному дифференциалу производится по области значений "z=f(x,y)".

Этого у Эйлера нет, но в этом и состоит МОЕ ОТКРЫТИЕ. Оно сделано путем усовершенствования алгоритмов Эйлера.
Ответить Цитировать
02.09.2021 12:20
r-aax
.
Цитата
misgin005gmail.com
А вот ЗДЕСЬ он именно на этом акцентирует внимание и пишет, что ВОТ ТАК ВЫГЛЯДИТ ПОДЛИННЫЙ ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ. Тут уже нет константы интегрирования.

Если Вам так нравится эта формула, то ok. В ней $z$ зависит от $y$, и в формуле добавляется вместо константы интегрирования $f(y)$. А теперь если убрать зависимость $z$ от $y$, то и в формулу интеграла войдет функция $f(y)$, которая от $y$ не зависит, то есть вернется та самая константа интегрирования $C = f(y)$. Это, так сказать, "образно", как Вы любите.

Цитата
misgin005gmail.com
Именно об этом говорят ДВЕ формулы, ОТКРЫТЫЕ МНОЮ.

Вот и объясните первую формулу $\int f(x) dx = F(x)$.
Вы путаетесь в показаниях. То говорите, что пользуетесь определениями Эйлера (но у Эйлера четко сказано, что неопределенный интеграл функции одной переменной определяется с точностью до константы интегрирования), то говорите, что у Эйлера этого нет (тогда Вы должны привести свое определение).
В написанной формуле $f(x)$ - это функция одной переменной.
Что Вы обозначаете значком $\int f(x) dx$? Дайте строгое определение.
Ответить Цитировать
02.09.2021 12:34
misgin005gmail.com
Э-э-э...
Цитата
r-aax
... А теперь если убрать зависимость $z$ от $y$, то и в формулу интеграла войдет функция $f(y)$, которая от $y$ не зависит...

Я не смог осилить вот эту Вашу фразу: "...функция $f(y)$, которая от $y$ не зависит..." Как это?!
Ответить Цитировать
02.09.2021 12:46
misgin005gmail.com
ОК
Цитата
r-aax
Что Вы обозначаете значком $\int f(x) dx$? Дайте строгое определение.

$\int f(x) dx$ - ПЕРВООБРАЗНАЯ функция, результатом дифференцирования которой, по полному дифференциалу переменной "x" (dx), является функция f(x),



Редактировалось 2 раз(а). Последний 02.09.2021 12:48.
Ответить Цитировать
02.09.2021 12:56
r-aax
.
Цитата
misgin005gmail.com
Цитата
r-aax
... А теперь если убрать зависимость $z$ от $y$, то и в формулу интеграла войдет функция $f(y)$, которая от $y$ не зависит...

Я не смог осилить вот эту Вашу фразу: "...функция $f(y)$, которая от $y$ не зависит..." Как это?!

Видимо, камень преткновения найден.
Вы догадываетесь о существовании константных функций или мы на этом моменте останавлиаемся подробно?

Цитата
misgin005gmail.com
Цитата
r-aax
Что Вы обозначаете значком $\int f(x) dx$? Дайте строгое определение.

$\int f(x) dx$ - ПЕРВООБРАЗНАЯ функция, результатом дифференцирования которой, по полному дифференциалу переменной "x" (dx), является функция f(x),

Фиксируем данное Вами определение:

Цитата
misgin005gmail.com
$\int f(x) dx$ - ПЕРВООБРАЗНАЯ функция, результатом дифференцирования которой, по полному дифференциалу переменной "x" (dx), является функция f(x).

Чему по Вашему определению равно $\int x dx$?
Ответить Цитировать
02.09.2021 13:00
misgin005gmail.com
Не совсем...
Цитата
r-aax
... $z$ зависит от $y$, и в формуле добавляется вместо константы интегрирования $f(y)$. А теперь если убрать зависимость $z$ от $y$, то и в формулу интеграла войдет функция $f(y)$, которая от $y$ не зависит, то есть вернется та самая константа интегрирования $C = f(y)$...

Только немного не так. А вот так: C = f(y_n). Это произвольное значение переменной "y", не зависящей от "x". То есть, РЕЗУЛЬТАТ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ переменной "z" по частному дифференциалу переменной "x".
Ответить Цитировать
02.09.2021 13:03
misgin005gmail.com
.
Цитата
r-aax
Чему по Вашему определению равно $\int x dx$?

x^2/2
Ответить Цитировать
02.09.2021 13:13
r-aax
.
Цитата
misgin005gmail.com
Цитата
r-aax
Чему по Вашему определению равно $\int x dx$?

x^2/2

А почему не $\frac{1}{2}x^2 + 1$.
Ответить Цитировать
02.09.2021 13:29
misgin005gmail.com
КОНСТАНТНАЯ ФУНКЦИЯ
z=f(x,y)=x^2+y^2=\sqrt{x^2+y^2}

Для переменной "z" переменная "y" является АРГУМЕНТОМ.

Для переменной "x" переменная "y" является ПАРАМЕТРОМ.

Слово "КОНСТАНТНАЯ" означает НЕЗАВИСИМОСТЬ. Слово функция означает ЗАВИСИМОСТЬ. Это нормальное шизофреническое явление для математической ботаники.
Ответить Цитировать
02.09.2021 13:35
misgin005gmail.com
ПАТАМУШТА
Цитата
r-aax
Цитата
misgin005gmail.com
Цитата
r-aax
Чему по Вашему определению равно $\int x dx$?

x^2/2

А почему не $\frac{1}{2}x^2 + 1$.

Потому, что дифференциал переменной интегрирования ПОЛНЫЙ, а не ЧАСТНЫЙ.

Поэтому результат интегрирования ограничен областью значений переменной интегрирования.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 02.09.2021 13:36.
Ответить Цитировать
02.09.2021 13:55
r-aax
.
Цитата
misgin005gmail.com
Потому, что дифференциал переменной интегрирования ПОЛНЫЙ, а не ЧАСТНЫЙ.

Поэтому результат интегрирования ограничен областью значений переменной интегрирования.

Интересно, у Вас наверное свое понимание дифференциирования функции одной переменной.
У всех рассматриваемых функций $x$, $\frac{1}{2}x^2$, $\frac{1}{2}x^2 + 1$ переменная $x$ изменяется в одних и тех же пределах от $-\infty$ до $+\infty$.

Я беру Ваше определение:

Цитата
misgin005gmail.com
$\int f(x) dx$ - ПЕРВООБРАЗНАЯ функция, результатом дифференцирования которой, по полному дифференциалу переменной "x" (dx), является функция f(x).

и проверяю, является ли функция $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$ первообразной функции $f(x) = x$.

Для этого я должен продифференциировать функцию $F(x)$.
Дифференциирование функции одной переменной это отыскание ее производной.
Сделаем это: $(\frac{1}{2}x^2 + 1)_x^{'} = (\frac{1}{2}x^2)_x^{'} + (1)_x^{'} = x$.
В результате дифференциирования функции $\frac{1}{2}x^2 + 1$ по переменной $x$ мы получили функцию $f(x) = x$.
А значит по Вашему определению $\int f(x) dx = \frac{1}{2}x^2 + 1$.
Ответить Цитировать
02.09.2021 14:58
misgin005gmail.com
Вы невнимательно читаете ))
1. В первой части Вашего сообщения Вы пытаетесь продифференцировать СУММУ функции переменной дифференцирования и независимую от нее величину. То есть КОНСТАНТУ. Для действия дифференцирования не имеет значения выступает ли в роли константы функция НЕЗАВИСИМОЙ переменной, сама НЕЗАВИСИМАЯ переменная, либо ее значение. Для действия дифференцирования это называется: ВЕЛИЧИНА, НЕ ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ПЕРЕМЕННОЙ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.

ЭТА ВЕЛИЧИНА НЕ ВХОДИТ В ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ПЕРЕМЕННОЙ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. И совершенно не важны численные границы области значений переменной дифференцирования. Математика изучает не абсолютные величины, а соотношения величин и их частей. То есть, величины относительные. Абсолютные величины изучает физика.

Границы области значений ПЕРЕМЕННОЙ могут визуализироваться ВСЕЙ ЧИСЛОВОЙ ОСЬЮ, если рассматриваются только ее значения, Может визуализироваться отрезком на числовой оси другой переменной, в которую входит рассматриваемая переменная как слагаемое суммы и даже ТОЧКОЙ (!!!!!!)

Все зависит от масштаба "рассмотрения".

2.
Цитата
r-aax
... по Вашему определению $\int f(x) dx = \frac{1}{2}x^2 + 1$.

НЕ-А! Вы пытаетесь проинтегрировать подынтегральную функцию ПО ЧАСТНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛУ переменной интегрирования, а в формуле стоит ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ переменной интегрирования.

Я дал Вам ДВЕ ФОРМУЛЫ. Посмотрите на вторую.
Ответить Цитировать
02.09.2021 15:13
r-aax
.
Словоблудие не уместно после того, как Вы дали строгое определение.

Цитата
misgin005gmail.com
$\int f(x) dx$ - ПЕРВООБРАЗНАЯ функция, результатом дифференцирования которой, по полному дифференциалу переменной "x" (dx), является функция f(x).

1. Я беру функцию $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$. Это функция одной переменной $x$.
2. Я эту функцию дифференциирую - нахожу ее производную: $(\frac{1}{2}x^2 + 1)_x^{'} = x$. Я правильно нашел производную функции $F(x)$?
3. Из Вашего определения и п. 1-2 я делаю вывод: $\int f(x) dx = \frac{1}{2}x^2 + 1$.
Ответить Цитировать
02.09.2021 15:34
misgin005gmail.com
Не понял
Вы не умеете читать слова в определении?

Так, ладно... Это уже не интересно. Вернемся к ТЕМЕ. Ответьте на ЭТОТ вопрос.
Ответить Цитировать
02.09.2021 15:54
r-aax
.
Не прыгайте никуда.

Обсуждая определенный интеграл, мы пришли к тому, что у Вас свое понятие неопределенного интеграла и неприятие констант интегрирования. Таким образом, сначала нужно прояснить вопрос определения неопределенного интеграла.
Формула интегрирования по частям получается только после того, как все понятия введены, так что пока ее применение Вами неправомерно.

Вы сформулировали определение, и сначала надо разобраться в нем, так как я подозреваю, что и дифференциирование функции одной переменной у Вас какое-то свое.

Цитата
r-aax
Словоблудие не уместно после того, как Вы дали строгое определение.

Цитата
misgin005gmail.com
$\int f(x) dx$ - ПЕРВООБРАЗНАЯ функция, результатом дифференцирования которой, по полному дифференциалу переменной "x" (dx), является функция f(x).

1. Я беру функцию $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$. Это функция одной переменной $x$.
2. Я эту функцию дифференциирую - нахожу ее производную: $(\frac{1}{2}x^2 + 1)_x^{'} = x$. Я правильно нашел производную функции $F(x)$?
3. Из Вашего определения и п. 1-2 я делаю вывод: $\int f(x) dx = \frac{1}{2}x^2 + 1$.

Если я правильно продифференциировал функцию $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$, то $\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + 1$ строго по Вашему определению.
Если я неправильно продифференциировал эту функцию, то покажите как правильно.
Ответить Цитировать
02.09.2021 16:36
misgin005gmail.com
В математике все определения записаны в формулах. Слова - это для неофитов
Вот ДВА определения.

Первое я записал Вам словами. Хотя слова означают то же самое, что и символы в формуле.

Вы почитали слова, посмотрели на формулы и ведете себя так, как будто не читали слова и не видели формул. Я ничего не понимаю... Может, это я - дурак? ))
Ответить Цитировать
02.09.2021 16:50
r-aax
.
Полностью согласен, слова это лишнее.

Я воспользовался данным Вами определением.

Цитата
misgin005gmail.com
$\int f(x) dx$ - ПЕРВООБРАЗНАЯ функция, результатом дифференцирования которой, по полному дифференциалу переменной "x" (dx), является функция f(x).

1. Я беру функцию $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$. Это функция одной переменной $x$.
2. Я эту функцию дифференциирую - нахожу ее производную: $(\frac{1}{2}x^2 + 1)_x^{'} = x$. Я правильно нашел производную функции $F(x)$?
3. Из Вашего определения и п. 1-2 я делаю вывод: $\int f(x) dx = \frac{1}{2}x^2 + 1$.

Что не так?
Как по-Вашему я могу еще продифференциировать эту функцию?
Слов не надо, покажите формулами.
Ответить Цитировать
02.09.2021 17:24
misgin005gmail.com
ОК
Цитата
r-aax
Слов не надо, покажите формулами.

Но я, все же, на всякий случай, добавил СЮДА немного слов и цвета... )))
Ответить Цитировать
02.09.2021 17:51
r-aax
.
Вы не понимаете, что я у Вас спрашиваю.
Вы данными формулами просто постулируете что-то.
Мне постулаты не очень интересны.
Нужно продемонстрировать, как работает Ваше определение.

Пишу в пятый раз, Вы дали следующее определение:

Цитата
misgin005gmail.com
$\int f(x) dx$ - ПЕРВООБРАЗНАЯ функция, результатом дифференцирования которой, по полному дифференциалу переменной "x" (dx), является функция f(x).

Я решил проверить строго по этому определению, является ли функция $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$ первообразной функции $f(x) = x$.
Следуя определению, я должен продифференциировать функцию $F(x)$ и сравнить результат с $f(x)$ и в случае совпадения, согласно определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Я продифференциировал фунцию $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$ и оказалось, что ее производная равна $f(x) = x$.

Существует только три варианта развития ситуации:
1. Функция $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$ является первообразной функции $f(x) = x$ согласно данному Вами определению.
2. Я не имею права дифференциировать функцию $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$.
3. Я неправильно продифференциировал функцию $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$.

Какой из этих вариантов имеет место быть?
Ответить Цитировать
Страницы: 1…4567891011121314…18
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти