Гипотеза Ходжа

Автор темы sukhikh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПремия для молодых математиков Образовательного фонда «Талант и успех»21.06.2021 00:48
ОбъявлениеSenior lecturer in Mathematics Linkoping (Швеция)04.09.2021 23:16
ОбъявлениеПостдок позиция по математике в Гетеборге (Швеция)10.09.2021 19:11
08.08.2021 15:10
Гипотеза Ходжа
Теорема.
На любом невырожденном проективном комплексном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию классов алгебраических циклов.
Доказательство.
Любое алгебраическое многообразие представляет собой поверхность в соответствующем пространстве с n числом измерений. С помощью соответствующей триангуляции данную поверхность можно представить в виде многогранника в соответствующем n-мерном пространстве.
Характеристика Эйлера для обычного многогранника без отверстий в 3-мерном пространстве равна Z(3,0) = F+V-E = 2, где F – число граней,V – число вершин, E – число рёбер. Присваивая вершинам маркёр “1”, рёбрам маркёр ”2”, граням маркёр ”3”, получаем Z(3,0) = 3+1-2 = 2 . Для обычного многогранника с g отверстиями в 3-мерном пространстве Z(3,g)=2-2g .
С помощью аналитического продолжения получаем, что характеристика Эйлера для многогранника без отверстий в n-мерном пространстве равна модулю разности сумм чётных и нечётных натуральных чисел от 1 до n.
Например, для многогранника в 4-мерном пространстве Z(4,0) = 4+2-3-1 = 2, для многогранника в 5-мерном пространстве Z(5,0) = 5+3+1-4-2 = 3 . Замечаем, что для n-мерного пространства характеристика Эйлера для многогранника без отверстий равна: если n – чётное, то Z(n,0) = n/2; если n – нечётное, то Z(n,0) = (n+1)/2 . Тогда для 9-мерного и 10-мерного пространств характеристика Эйлера равна Z(9,0) = (9+1)/2 = 5, Z(10,0) = 10/2 = 5 . Для пространств с более высоким числом измерений характеристика Эйлера будет больше.
Для многогранника с g отверстиями в n-мерном пространстве характеристика Эйлера равна Z(n,g) = Z(n,0)*(1-g).
Однако полиноминальные уравнения в степени 5 и выше не имеют алгебраического решения в общем случае.
Поэтому гипотеза Ходжа справедлива для пространств с числом измерений от 1 до 8 включительно. Но для пространств с числом измерений 9 и выше гипотеза Ходжа ошибочна.
Ходж сформулировал свою гипотезу для целых показателей. В последующем в формулировке гипотезы целые показатели были заменены на рациональные в надежде, что в таком виде гипотеза Ходжа будет справедлива для пространств с высоким числом измерений. Однако замена целых показателей на рациональные ничего нового в гипотезе Ходжа не даёт.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти