Всегда ли радикал — число?

Задача 1. Доказать, что радикал $\root{3}{35}$ не является основанием третьей степени для числа $35$:

$(\root{3}{35})^3 ≠35$

Доказательство. Запишем уравнение Ферма для $n=3$:

$a^3+b^3=c^3$

Возьмём $a=2,b=3,c=\root{3}{35}$ и подставим их в уравнение. Если допустить, что $(\root{3}{35})^3=35$, равенство должно соблюдаться:

$8+27=35$

Однако с учётом того, что куб представляет собой произведение трёх равных сомножителей, мы можем записать уравнение Ферма в том виде, в каком его теорема доказана Эйлером:

(1) $a^3+b^2 (c/2+x)=c^3$

Выражение в скобках — это тот сомножитель, который, по заключению Эйлера, не может быть равен числу $b$. Убедимся в этом, подставляя в уравнение (1) конкретные числовые значения.

$c=\root{3}{35}=3.2710663101885897$

$\frac{c}{2}=1,63553315509$

Выводим из уравнения (1) значение для икса:

(2) $x=\frac{c^3-a^3}{b^2}-\frac{c}{2}$

$x=3-1,63553315509=1,364466845$

$\frac{c}{2}+x=1,63553315509+1,364466845=3,00000000009$

Подставляем полученные значения в уравнение (1):

$8+9×3,00000000009=35$

$35,0000000008=35$

Делаем вывод:

$(\root{3}{35})^3≠35$

Ч.т.д.

Задача 2. Доказать справедливость неравенства:

$(\root{3}{15})^3+(\root{3}{35})^3≠(\root{3}{50})^3$

$a=\root{3}{15}=2.4662120743305$

$b=(\root{3}{35})=3.2710663101885897$

$b^2=(\root{3}{35})^2=10,6998748057$

$c=\root{3}{50}=3.6840314986404$

$\frac{c}{2}=\frac{3.6840314986404}{2}=1,84201574932$

Выводим по формуле (2) значение для икса:

$x=\frac{35}{10,6998748057}-1,84201574932=1,42905056085$

$\frac{c}{2}+x=1,84201574932+1,42905056085=3,27106631017$

Подставляем подсчитанные значения в уравнение (1):

$15+10,6998748057×3,27106631017-3,27106631017=50$

$15+35-3,27106631017=50$

$46,7289336898=50$

Делаем вывод:

$(\root{3}{15})^3+(\root{3}{35})^3≠(\root{3}{50})^3$

Ч.т.д.

Цитата
ammo77
И что вы этим доказали?

А я что-то доказал? Если да, то это впервые в жизни.

http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=57&t=74849

Цитата
spirin
Убедимся в этом, подставляя в уравнение (1) конкретные числовые значения.

$c=\root{3}{35}=3.2710663101885897$

Это неверно

Ваш онлайн калькулятор дает приближенное значение.Другой онлайн калькулятор даст на 10 или на 2000 знаков больше, но все равно это будет приближенное значение. Поскольку этот корень-число иррациональное. Потому-то и верный результат в виде конечной десятичной дроби не существует.