Корни уравнения Ферма должны удовлетворять условию:
(1)
$a^2+b^2>c^2$Умножаем обе части неравенства (1) на число
$a>0$:
(2)
$a^3+ab^2>ac^2$Поскольку
$c^2-b^2>0$, всегда существует такое действительное число
$x>0$, с помощью которого неравенство (2) можно превратить в равенство:
(3)
$a^3+ab^2=ac^2+x(c^2-b^2)$После преобразований приходим к уравнению (4):
(4)
$a^3=(a+x)(c^2-b^2)$Выводим формулу для числа
$x$:
$x=\frac{a^3}{c^2-b^2}-a>0$Так как
$a^2>c^2-b^2$, то
$x>a$. Поэтому
$x$ можно выразить через число
$y>0$:
(5)
$x=a+y>0$Подставляем это выражение в уравнение (4):
(6)
$a^3=(2a+y)(c^2-b^2 )$Выводим отсюда формулу для числа
$y$:
$y=\frac{a^3}{c^2-b^2}-2a>0$Так как
$y>0$, то
$y>2a$. Поэтому
$y$ можно выразить через число
$z>0$:
(7)
$y=2a+z>0$Подставляем это выражение в уравнение (4):
(8)
$a^3=(3a+z)(c^2-b^2)$Выводим отсюда формулу для числа
$z$:
$z=\frac{a^3}{c^2-b^2}-3a>0$Так как
$z>0$, то
$z>3a$. Поэтому
$z$ можно выразить через число
$w>0$:
(9)
$z=3a+w>0$Остановимся и спрогнозируем завершение начатых рассуждений.
1).
$a<0,b>0,c>0$(Ф)
$b^3=c^3+a^3$2).
$a>0,b<0,c>0$(Ф)
$a^3=c^3+b^3$3)
$a<0,b<0,c<0$(Ф)
$a^3+b^3=c^3$4).
$a>0,b>0,c<0$(Ф)
$a^3+b^3+c^3=0$5).
$a<0,b<0,c>0$(Ф)
$a^3+b^3+c^3=0$Первые три варианта абсолютно ничем не отличаются от того, который был в подробностях расписан выше, а два последних случая из этого списка можно даже не рассматривать.