Смысл слова "соответствующий" в доказательстве теорем?

Мне непонятен смысл этого слова.
Два треугольника называются равными если у них соответствующие стороны...
Слово "соответствующие" лишнее.
Без него доказательства в геометрии (и в базовой и в высшей) нисколько не страдают. Зачем тогда это слово кочует из одного учебника в другой?
Преподы заставляют зубрить, отказываясь объяснять такие "мелочи".
Плиз объясните, кто не сочтет за мелочь.
А лучше, конечно, докажите, если это слово и впрямь необходимо.

egor
Пасибки!
Действительно. Теперь смысл и необходимость употребления слов "соответствующий", "соответственно" появился.
Контрпример класный!
Не знаю только, можно ли теперь контрпример обобщить?
Тоесть, распространить его, если не на все случаи употребления, то, хотябы на первые две теоремы.
Я при помощи вашего примера проанализировал два первых признака равенства треугольников. Но такая же логика не получается.
Например, по первому признаку:

В треуголнике ABC: [AB]=30, [AC=20], угол A равен 30 градусам.
А в другом треугольнике A`B`C`уже нельзя помыслить НЕсоответствие.

Какие бы две стороны И угол между ними мы не взяли в треугольнике A`B`C` cо значениями двух сторон И угла между ними треугольника ABC, это всегда будет автоматически взаимно однозначное соответствие.
Также и со вторым признаком.

Тоесть у меня по аналогии с вашим примером не получается придумать контрпример в случае с другими признаками.
Значит, можно сказать есть случаи, когда употребление слова "соответствующий"будет тавтологией.

Тогда можно просто сказать:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника...

И во втором признаке тоже:
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника...

В третьем же признаке да, появляется неоднозначная ситуация.
Вот здесь и употребим слово "соответствующий".

Вообще, это даже, наверное не геометрическая поблема, а ответственность авторов учебников, педагогов, дидактов.
Я пока два учебника посмотрел-Погорелова и Шарыгина.
Хотя способ доказательства у Шарыгина идет через наложение треугольников, слово "соответствующий" он употребляет также, как Погорелов.
Ну что за слово! Я прямо зациклился на нем! :))))
Может в высшей математике открывается его какой-то другой смысл.
Оттого это слово и вводят в базовых школьных курсах геометрии.
Чтобы дети привыкали к его использованию.
Может в этом смысл?

Egor
Здравствуйте!

Цитата:
///Дело в том, что фразу
"стороны тр. ABC равны сторонам тр. A'B'C'"
можно понять так:
"каждая из сторон тр. ABC равна какой-то из сторон тр. A'B'C'".
Например, [AB]=[AC]=30, [A'B']=30, [A'C']=20.///

Я согласен. Но согласен, если изначально формулируется: «стороны тр. ABC равны сторонам тр. A'B'C'»! Если формулировать именно так (как предложили вы), не больше и не меньше, тогда с этой фразы конечно же следует предложенное вами понимание (вывод):
«каждая из сторон тр. ABC равна КАКОЙ-ТО из сторон тр. A'B'C'»
И такое понимание вы как раз привели в контрпримере в первом ответе.

Но в том то и дело, что в школьном учебнике, первый признак формулируется с указанием двух сторон И угла между ними.
Мы имеем не фразу «стороны тр. ABC равны сторонам тр. A'B'C'», а условие:
«две стороны и угол между ними тр.АВС равны двум сторонам и углу между ними тр.A’B’C”

Я понимаю, что в фразе «стороны тр. ABC равны сторонам тр. A'B'C'» вы обобщили употребление слова «соответственно» в трех признаках.
Но как вы уже доказали в первом ответе, необходимость употребить слово «соответсвенно» доказывается лишь для третьего признака равенства треугольников.
А для первых двух я по-прежнему не вижу этой необходимости.

Возвращаюсь к вашему примеру: Например, [AB]=[AC]=30, [A'B']=30, [A'C']=20.
Согласитесь, что такое понимание не следует из предложения «если две стороны и угол между ними…». Оно конечно же следует если бы первый признак звучал вроде:
«если две стороны и угол одного треугольника равны двум сторонам и углу другого треугольника». Сразу дезориентирует, правда? Какие стороны и углы? Возникает путаница и возможность контрпримеров. Ученик может в самом деле сравнивать две стороны одного треугольника с одной стороной другого: [AB]=[AC]=30, [A'B']=30, а третью с другой: [BC]= [A'C']=20.
Тоесть не будет ситуации взаимно однозначного соответствия.

Но, повторюсь, это-в случае формулировок, отличающихся от данных в учебнике.

А ведь сказано в учебнике ( что я пытаюсь доказать) исчерпывающе так, что, обойдясь в первых двух признаках без всякого слова «соответственно», не возникнет двусмысленностей. Не возникнет не просто потому, что ученик не продумает теорему, а как раз наоборот, продумав, не сможет придумать контрпримера, как сделали вы, и с чем я согласился в случае третьего признака равенства треугольников.
Раз невозможен контрпример (в случае двух первых признаков), значит и невозможна на практике ситуация несоответственного отнесения школьником сторон и углов при решении задач.

Цитата:
///Конечно, можно заранее запретить такое понимание…///
Нет. Я как раз за тщательное продумывание контрпримеров.
Но, продумывая первые два признака, примера с несоответствующим соотнесением сторон или углов двух треугольников не получается.

Цитата:
«…или для пущей определённости говорить "две стороны ... равны двум сторонам..."»
Мне наоборот видится, что как раз для «пущей определенности» авторы Погорелов и Шарыгин употребили в некоторых теоремах слово «соответственно».
Но в первых двух признаках равенства треугольников невозможно соотнести равные стороны и углы несооответственно!
Это всеравно, что сказать: «давайте сравним строение головного мозга полевой мыши со строением СООТВЕТСТВУЮЩЕГО головного мозга прыткой ящерицы».
Как будто у прыткой ящерицы есть еще какой-то несоответствующий мозг, так, что сравнивая, можно было бы ошибиться.

Ошибка возможно лишь в третьем признаке (ваш контрпример: ///AB=30, BC=30, AC=20, а A'B'=30, B'C'=20, A'C'=20. В каком-то смысле стороны первого равны сторонам второго, но нет взаимно однозначного соответствия, и третий признак применить нельзя.///)

Цитата:
///Но для полного разъяснения всё равно придётся прибегать к взаимно однозначным соответствиям. Кроме того, в самом доказательстве используем именно взаимно однозначное соответствие сторон!///

В доказательстве всех трех признаков равенства треугольников мы используем взаимнооднозначное соответствие.
Но только в случае третьего признака, опускание слова «соответственно» может привести на практике к несоответствующим соотнесениям, потомучто в условии теоремы отсутствует признак угла.
А в первых двух признаках именно угол (углы) фиксирует и ЗАДАЕТ соответствие, так что излишним (тавтологией) является упоминание и осознание того, что стороны и углы двух треугольников именно соответствующие.
Мы же не говорим «если соответствующие радиусы двух окружностей равны, то окружности равны». Других то радиусов, другой длины у двух данных окружностей нет.
Также и с двумя сторонами и углу между ними или стороне и прилежащим к ней углам двух треугольников. Частица «и» , соеденив углы со сторонами уже их взаимно однозначно соотнесла.

Я бы согласился, если бы уже после доказательства трех теорем, были приведены некие рассуждения по поводу соответствия и несоответствия. С тем, чтобы учащиеся дополнительно осознали факт того, что при доказательстве имеет место использование взаимнооднозначного соответствия. Но использование слова в определении первых двух теорем, приводит к путанице и ощущению тавтологии.

///В высшей математике, чтобы меньше возиться со словом "соответствующий", для обсуждения этих вопросов используют краткую "объектно-ориентированную" терминологию. Используют разные термины для наборов в зависимости от того, как собираются их сравнивать.///

Спасибо за пример. Вы хорошо сказали: «меньше возиться».
Я уж думал, неужели и вы паритесь с этим «соответственно» :)

По аксиоме существует треугольник, равный данному.
Представим себе два таких равных треугольника.
Они еще никак не обозначены.
Только что родились. : )) Имена близняшкам мы дадим потом : ))
Так вот. Треугольники УЖЕ равны.
Они же не перестанут быть равными от того, что мы будем их по-разному называть.

Цитата:
///Например, если AB=40, BC=30, AC=20, то в первом смысле треугольники ABC и BAC равны, а во втором смысле - нет.///

Представьте ваш пример как условие задачи:
Дано:
1. Тр. АВС . [ AB]=40,[ BC]=30, [AC]=20
2. Тр. ВАС.
Равны ли треугольники?
Решаем: [BA]=40, [AC]=20, [ BC]=30
Выходит равенство по третьему признаку.

Или другой порядок в назывании вершин:
Дано:
1.Тр. АВС . [ AB]=40,[ BC]=30, [AC]=20
2.Тр. ВСА.
Равны ли треугольники?
Решаем: [BC]=30, [CA]=20, [ BA]=40
Тоже самое. Равенство по третьему признаку.

Если два треугольника изначально равны, и о возможности такой ситуации говорит нам аксиома, то, как бы мы не крутили-вертели эти треугольники в смысле называния, САМИ-то они ведь ПО СЕБЕ остаются равными друг другу.

Тем более, если берется один треугольник, как в приведенных выше задачах.
Уже до решения, по смыслу, треугольник остается тождественным самому себе, какие бы другие треугольники с теми же самыми вершинами мы в нем не выделяли.
Согласен с методом фиксации вершин.
Но это просто облегчает задачу понимания того какие именно части одной фигуры равны каким именно частям другой.
Пусть перед вами два чертежа двух треугольников. Треугольники пока не названы.
Я говорю, что треугольники равны.
Будет разница, если я:
1. Не укажу, какие стороны и углы двух треугольников равны.
2. Сделаю такое указание (физически, например, указкой).

В первом случае вам придется самому с линейкой или транспортиром измерять стороны или углы треугольников и соотносить их. Во втором случае, дальнейших разъяснений вам не потребуется.

Но, как бы я не представил вам чертеж двух равных треугольников, они же останутся равными.
Вот туже функцию и выполняет в геометрии (языке) жесткая фиксация порядка перечисления вершин при назывании треугольника. Лишь для удобства демонстрации того, какие именно стороны и вершины равны. Фиксация выполняет функцию указания на соотнесение. На то, что и чему равно или не равно.
Без этого указания понятно было бы лишь что, например: Тр. АВС= тр. MKN
А [ АВ] ли равно [MK] или [ВС], было бы неясным.
Но, при этом, все же было бы ясно, что треугольники равны.
И ситуация разумеется не может меняться когда мы вводим правило фиксации вершин.
Назовем тр. MKN по-другому: KMN. Он что, как то изменил размеры своих сторон или углов? Конечно, нет. Но, возникла неоднозначная ситуация. Что и чему равно уже непонятно.
Какие стороны, как углы равны-неясно.
Упорядочивание вершин выводит из путаницы. Соотносит правильно.
Возникает соответствие. :) )
[АВ] соответствует [МК]. Но в смысле равенства. [АВ] не соответствует [МN]. Опять же в смысле равенства. Тоесть употребить слово «соответственно» в первых двух признаках применительно к сторонам и углам можно только после факта обнаружения равенства этих сторон и углов двух треугольников. А не до сравнения.
Отсюда, опять видим несуразность фразы «если две стороны и угол межу ними одного треугольника РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО…». Сначала «равны», затем «соответственно». Масло масляное. Но и от перестановки дело не поправится. Слово «соответственно» явно лишнее.
В третьем признаке да, сначала нужно правильно взаимно однозначно соотнести, а затем сравнить.
Например, [АВ] равно именно [МК] а не [MN].
А в общем «…три стороны… равны соответственно трем сторонам…». Все правильно.

Поэтому функцию указания на взаимно однозначное соответствие выполняет правило перечисления вершин при назывании треугольника.
Это правило и вводит «упорядоченный» треугольник, как вы сказали для «применения признаков равенства».
Но тогда именно в правиле и нужно говорить о взаимно однозначном соответствии.

Вот и еще одна (с моей точки зрения) недоработка объяснения необходимости правильного называния вершин треугольника.
Правильно-то называть нужно.
Но, то, как это объяснено у Погорелова, делает возможным вывод учащимся о том, что перечисление вершин треугольника в ином порядке, изменяет треугольник физически.

В принципе, чувствуется, что авторы хотели именно подчеркнуть.
Я почти согласен с этим.
Ну не умнее же я авторов учебника. : ))
И не могли же авторы допустить геометрическую ошибку.
Просто это их подчеркивание на практике у мыслящих учеников приводит к бесплодным поискам смысла слова «соответствующий».

Это нам с вами хорошо оперировать «однозначными соответствиями» и прочим.
А каково ученику пятого класса?
Да и взрослый дядя, решив вдруг сделать для себя из геометрии хобби, немало прольет пота, пытаясь уразуметь это самое соответствие.

Цитата:
/// А как сформулировать понятие равных треугольников, избегая их обозначений?///

У Погорелова понятие «равные треугольники» формулируется как раз без использования обозначений.
В учебнике этого автора в параграфе «Треугольник» написано:
«Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон»

При этом смысл слова «соответствующий» и нужность его употребления мне (благодаря egor) здесь понятны.
Имеется в виду взаимно однозначное соответствие сторон и углов двух треугольников.

И в аксиоме VIII также не используются обозначения:
«Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой».

Как видите, формулировка понятия «равенства треугольников» возможна без их обозначения.

Цитата:
///Ну или, еще тривиальнее, треугольник ABC не всегда равен (самому же себе, но переобозначенному) треугольнику BAC :)///

Почему же?
Я ведь предложил сделать специально задачу с таким условием.
Дано: тр.АВС. Три стороны с такими то (любыми) значениями.
И еще дан тр.ВАС. (разумеется чертим только один треугольник, в котором выделяем еще один путем переназывания вершин тр.АВС)
Вы же не хотите сказать, что если отрезок АВ равен, например, 10 см. то отрезок ВА в каком-то другом смысле буден не равен ПО ДЛИНЕ 10 см.
И здесь (в случае треугольников) тоже самое.
Что будет препятствовать сделать вывод в задаче, что по третьему признаку треугольник ВАС равен треугольнику АВС?
Соображение «упорядоченных» треугольников?
Согласитесь, что любой учитель или преподаватель сразу спросит, что это за аксиома или теорема об «упорядоченных» треугольниках, на которые мы ссылаемся и по которой мы не можем применить к треугольникам АВС и ВАС третий признак равенства.

Цитата
///Давая "имя" треугольнику мы тем самым упорядочиваем его вершины, то есть выбираем для данного "неупорядоченного треугольника" один из шести соответствующих ему "упорядоченных треугольников". Поэтому, переназывая упорядоченный треугольник, мы получаем другой упорядоченный треугольник.///

Да, получаем ДРУГОЙ упорядоченный треугольник. Но ДРУГОЙ Р А В Н Ы Й!!!
Вот в чем смысл. А «другой»-только в смысле называния! А не размеров.
Сама фигура, сами размеры элементов (стороны и углы) хоть упорядоченного хоть неупорядоченного треугольника не меняются.

Цитата
/// >Так вот. Треугольники УЖЕ равны.
>Они же не перестанут быть равными от того, что мы будем их по-разному называть.

Это вообще-то формально не верно :)///

Вот с этим я согласен. Это лишь ФОРМАЛЬНО не верно. И лишь формально, передавая кому-то или записывая информацию о равенстве сторон и углов треугольников мы должны привести сравненные стороны и углы в соответствие, правильно соотнести и показать что и чему равно. Для чего и служит правило называния треугольников со строгой фиксацией перечисления вершин.
Тоесть формальность в плане обозначения ситуации равенства.
Но содержательно, сами переназванные треугольники не меняются.

Сорри, конечно.
Не знал что так уж важно как именно оформлять.
По моему мой способ-отделять тремя чертами, путаницы не вносит.
Млин, мне легче доказать, что слово "соответственно" все же имеет какой-то смысл в формулировках первых двух признаков :)))
Ладно, займусь корректировкой в выходные.
Но, мне кажется тема что-то быстро вымерла.
Вряд ли уже кто что напишет.
Посмотрим.
Я то тоже в сомненьях остался.
Не хочу обижать, но аргументы оппонентов меня как то не убедили.
Вот потщательней бы, потщательней бы прописали доказательства :)))
Не все мы 7 пядей... Сделайте скидку НЕ СТУДЕНТУ. Тем более МГУ.