Настоящие совершенные числа вида 2^k

Совершенные числа имеют вид(1).

1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064 = 8128
и так далее.

Вопрос почему вдруг посередине ряда возникает нечетное число?
Возникает по следущей причине.

Рассмотрим ряд чисел (2).
1/(2^00) + 1/(2^(00 - 1)) + ... + 1/16 + 1/ 8 + 1/4 + 1/2 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...+ S/2 = S
где S - настоящее совершенное число, которое вижу я как совершенное.
Новое совершенное число будет S1 = S*2, Sn = S*2k
Как видим настоящих совершенных чисел = 00 (где 00 - бесконечность).

Теперь смотрим на совершенные числа вида (1)

Числа имеют в середине ряда нечетное число, на единицу меньшее чем должно было быть после очередного предыдущего.
Например 7, 31, 127 и тп. См (1). Почему так происходит?
Всему проблема не учтенная единица от 0 до 1, равная 1/(2^00) + 1/(2^(00 - 1)) + ... + 1/16 + 1/ 8 + 1/4 + 1/2
Поэтому для компенсации отсутствия куска числа, происходит Деформация ряда.
В левой части, до чисел 7, 31, 127, приходится увеличивать значения по отношению к правой части. Но по условию первый член это 1. И в результате
левая часть не может увеличиться и поэтому уменьшается правая часть, и там возникает новый ряд, который никакого отношения к 2^k не имеет.
И только кажется, что оно совершенно.
Поэтому таких совершенных чисел мало.
Да и не совершенные они, а уменьшенные какие-то.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 07.09.2021 00:27.

В этом и есть красота этих чисел. Они широко используются в программировании. Биты, байты и так далее.

Дано.
Числа типа 1 (1):
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

и так далее.

Найти (поправить ряд) такие числа, чтобы при делении самого числа на любой собственный делитель было целое число и сумма таких делителей равнялась бы самому числу и таких чисел стало много, больше чем чисел типа 1 (1).


Решение.

Числа типа 2 (2):

Добавим 1 к (1), так как по условию это не запрещено, а если запрещено, то все равно добавим, так как новые числа должны чем-то отличаться по условию.
1 + 1 + 2 + 4 = 8
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 32
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 512

и так далее.

Конечно если убрать обратно единицу, то получатся опять числа (1)
А если убрать 1 + 1, или 1 + 1 + 2 и тд ? Что тогда получится? Понимаете, да к чему это?

Цитата
alexx223344
Теперь немного понятно как образуются совершенные числа?

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

На одном числе происходит сдвиг вниз на 1

Здесь это 31

Далее опять умножается на 2.

Совершенные числа от 28 всегда будут на некоторых прямых сумой своих чисел 1 .

После 496 какое число сдвигать ?

они все в этой последовательности

{6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, 130816, 523776, 2096128, 8386560, 33550336, 134209536, 536854528, 2147450880, 8589869056, 34359607296, 137438691328, 549755289600, 2199022206976, 8796090925056, 35184367894528, 140737479966720, 562949936644096, 2251799780130816, 9007199187632128, 36028796884746240, 144115187807420416, 576460751766552576, 2305843008139952128, 9223372034707292160, 36893488143124135936, 147573952581086478336, 590295810341525782528, 2361183241400462868480, 9444732965670570950656, 37778931862819722756096, 151115727451553768931328, 604462909806764831539200, 2417851639228158837784576, 9671406556914834374393856, 38685626227663735544086528, 154742504910663738269368320, 618970019642672545263517696, 2475880078570725365426159616, 9903520314282971830448816128, 39614081257132028059283619840, 158456325028528393712111190016, 633825300114114137798398181376, 2535301200456457677093499568128}



Редактировалось 1 раз(а). Последний 06.09.2022 22:13.

Цитата
alexx223344
Вы не поняли
Совершенные числа имеют вид -

От Евклида - 2^(p-1)*2(p-1) есть простое, если 2^p-1 = p (1)

например
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

замечено такое
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

1 + 2 + 4 + 8 + 16 +
2^n первая часть последовательности

(2^n - 1) иногда посередине (тут 31 см ниже)
(2^n - 1)*2^n последняя часть последовательности (2)

31 + 62 + 124 + 248

Значит чтобы найти все совершенные надо приравнять одно к другому и проверить.

∑n=0N2^n + ∑n=0M(2^n - 1)*2^n = 2^(p-1)*2(p-1) (3)

заметил также что, что если взять не
1 + 2 + 4 + 8 + 16 +

а
1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +.... =

то было бы что, 1 + ∑n=0N2^n = 2^k

Совершенные числа бесконечный как и Мерсена простые .

Или просто не умеют искать?

Все совершенные числа принадлежат этой последовательности

n |
1 | 6
2 | 28
3 | 120
4 | 496
5 | 2016
6 | 8128
7 | 32640
8 | 130816
9 | 523776
10 | 2096128

Здесь нечетные n кратны 3 и не нужны а вот четные нам как раз и нужный ,в
них генерируют бесконечно совершенные числа .
период степени 120 между видами .
Видов мало цикл нормальный для бесконечной их генерации .

Просто диапазон огромный .

Позже уберу нечетные n сейчас голова не варит .
Числа последовательности треугольные .

${(dlog(6))/(d1^1), (d^2 log(28))/(d2^2), (d^3 log(120))/(d3^3), (d^4 log(496))/(d4^4)}$

Здесь Мерсенская последовательность

n |
1 | 7
2 | 31
3 | 127
4 | 511
5 | 2047
6 | 8191
7 | 32767
8 | 131071
9 | 524287
10 | 2097151
11 | 8388607
12 | 33554431
13 | 134217727
14 | 536870911
15 | 2147483647



Редактировалось 4 раз(а). Последний 12.09.2022 23:26.

Просто вы не видите главного

добавьте к прогрессии совершенного числа спереди еще одну единицу.

Отсутствие этой единицы и дает такие фокусы.

Вместо 1+2+3+..... будет 1+1+2+4+.....

и сразу закономерность появляется



Редактировалось 1 раз(а). Последний 13.09.2022 14:11.

Цитата
ammo77

Цитата
alexx223344
Вместо 1+2+3+..... будет 1+1+2+4+.....

и сразу закономерность появляется

Там и так закономерность только простые n работают ,

я просто предлагаю получать эти простые по спец. классификации ,
чтоб напрасно не проверят простые вне процесса .

Незнаю зачем проверять на простые если при правильном подходе все сразу становится на свои места.
Как только вы забываете про первую единицу, то и появляются все нерешенки.

Вот на примере выше показал.

1+1+2+4+8+16....

получаем числа которые без первой единицы подходят под условие совершенных чисел, но закономерность ясна и понятна. И конкретно видно что их бесконечность. Так как это числа 2^n

2, 4, 8, 16

они делятся

2 на 1+1
4 на 2+1+1
8 на 4+2+1+1

и тд.

чем не красота?

А все решила какая то единица