10.09.2021 09:19 Дата регистрации:
5 лет назад Посты: 188 | Теорема Ферма в действительных числах Если обозначить буквами $a,b,c$ действительные числа, а буквами $A,B,C$ натуральные числа, то, по общепринятому в математике положению, уравнение Ферма можно записать как в виде равенства, так и в виде неравенства: (R) $a^n+b^n=c^n$(N) $A^n+B^n≠C^n$Справедливость уравнения (R) постулируется. Справедливость уравнения (N) доказана. Доказательство уравнения (R). Действительные корни уравнения (R) должны удовлетворять условию: (1) $a^2+b^2>c^2$Умножаем обе части неравенства (1) на число $a>0$: (2) $a^3+ab^2>ac^2$Поскольку $(c^2-b^2)>0$, всегда существует такое действительное число $x>0$, с помощью которого неравенство (2) можно превратить в равенство (3): (3) $a^3+ab^2=ac^2+x(c^2-b^2)$После преобразований приходим к уравнению (4): (4) $a^3+b^2 (a+x)=c^2 (a+x)$Представим число $a$ в виде $a=(a+x)-x$: (5) $[(a+x)-x]^3+b^2 (a+x)=c^2 (a+x)$Возводим квадратную скобку в куб: (6) $(a+x)^3-3(a+x)^2 x+3(a+x) x^2-x^3+b^2 (a+x)=c^2 (a+x)$Делим уравнение (6) на $(a+x)$: $(a+x)^2-3(a+x)x+3x^2-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$Раскрываем скобки: $a^2+2xa+x^2-3ax-3x^2+3x^2-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$$a^2+x^2-xa-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$Условие (1) требует следующего неравенства: $x^2-xa>\frac{x^3}{a+x}$$x-a>\frac{x^2}{a+x}$Умножаем обе части данного неравенства на $(a+x)>0$ и применяем формулу сокращённого умножения для разности квадратов: $x^2-a^2>x^2$$-a^2>0$Вывод. Поскольку условие (1) невыполнимо для корней уравнения (R), теорема Ферма справедлива для всех действительных чисел.
|
10.09.2021 10:06 Дата регистрации:
13 лет назад Посты: 1 090 | . Цитата
spirin
Условие (1) требует следующего неравенства:
$x^2-xa>\frac{x^3}{a+x}$
Знак другой. Должно быть "<".
|
10.09.2021 10:48 Дата регистрации:
5 лет назад Посты: 188 | О знаке Цитата
r-aax
[Знак другой. Должно быть "<".
Но тогда получается, что $x<a$, однако из последнего уравнения следует обратный вывод: $a^2+x(x-a)-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$Отсюда ясно, что $x>a$, в противном случае условие (1) заведомо нарушено. Редактировалось 1 раз(а). Последний 10.09.2021 10:50.
|
10.09.2021 11:41 Дата регистрации:
13 лет назад Посты: 1 090 | . Не спешите. Вы пишете: Цитата
spirin
Условие (1) требует следующего неравенства:
$x^2-xa>\frac{x^3}{a+x}$
А должно быть: Условие (1) требует следующего неравенства: $x^2-xa<\frac{x^3}{a+x}$Что из этого следует?
|
10.09.2021 12:43 Дата регистрации:
5 лет назад Посты: 188 | qwe Цитата
r-aax
Что из этого следует?
Из этого следует, что два неравенства, вытекающие из одного и того же уравнения, противоречат друг другу. Остаётся, таким образом, один возможный вариант: $a=x$. Я его не приводил ввиду простоты опровержения, но если вы продемонстрируете такую возможность, это должно быть интересно.
|
10.09.2021 12:50 Дата регистрации:
13 лет назад Посты: 1 090 | . Условие (1) требует следующего неравенства: $x^2-xa<\frac{x^3}{a+x}$Вот с этого места поподробнее.
|
10.09.2021 13:50 Дата регистрации:
5 лет назад Посты: 188 | qwe Цитата
r-aax
Вот с этого места поподробнее.
$a^2+x^2-xa-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$Допустим, $x<a$. Тогда $x^2-xa<0$. Дробь в уравнении всегда отрицательна, поскольку перед ней стоит знак «минус». Но тогда выходит, что $a^2+b^2<c^2$, а это противоречит условию (1). Допустим, $x>a$. Тогда $x^2-xa>0$. Условие (1) требует, чтобы результат сложения данного положительного выражения с отрицательной дробью был положительным: $x^2-xa>\frac{x^3}{a+x}$Отсюда следует $-a^2>0$, что невозможно. Остаётся, таким образом, последний вариант: $x=a$.
|
10.09.2021 14:00 Дата регистрации:
13 лет назад Посты: 1 090 | . Цитата
spirin
Допустим, $x<a$. Тогда $x^2-xa<0$. Дробь в уравнении всегда отрицательна, поскольку перед ней стоит знак «минус». Но тогда выходит, что $a^2+b^2<c^2$, а это противоречит условию (1).
Вы опять перепутали знак. Да, $x^2-xa<0$. Да, $-\frac{x^3}{a + x} < 0$. И именно поэтому $a^2+b^2>c^2$. Так что все в порядке.
|
10.09.2021 15:38 Дата регистрации:
5 лет назад Посты: 188 | йй Цитата
r-aax
И именно поэтому $a^2+b^2>c^2$. Так что все в порядке.
Кажется, я чего-то не понимаю. Сумма двух отрицательных чисел может быть положительной?
|
10.09.2021 15:51 Дата регистрации:
13 лет назад Посты: 1 090 | . Если $a^2 + b^2 + x^2 - xa - \frac{x^3}{a+x} = c^2$и $x^2 - xa - \frac{x^3}{a + x} < 0$, то $a^2 + b^2 > c^2$. Что Вас удивляет?
|
10.09.2021 16:37 Дата регистрации:
5 лет назад Посты: 188 | qwe Цитата
r-aax
Что Вас удивляет?
Стало быть, $x>a$?
|
10.09.2021 17:28 Дата регистрации:
13 лет назад Посты: 1 090 | . Цитата
spirin
Цитата
r-aax
Что Вас удивляет?
Стало быть, $x>a$?
Да это не важно, все равно $x^2 - xa - \frac{x^3}{a + x} < 0$, и противоречия нет.
|
10.09.2021 17:44 Дата регистрации:
5 лет назад Посты: 188 | qwe В общем вы правы, противоречия здесь нет. И всё же я где-то рассматривал вариант $x>a$, сейчас поищу. Думаю, если вы захотите, можете и сами убедиться в невозможности такого соотношения.
|
11.09.2021 07:14 Дата регистрации:
5 лет назад Посты: 188 | qwe Всё, нашёл подтверждение: все мои художества — полный бред.
|
11.09.2021 10:39 Дата регистрации:
3 года назад Посты: 2 325 | Ошибки и решение. Разобраться в своих ошибках это уже почти решить любую задачу. Это метод исключения несуществующих решений из всего множества решений, конечно если они есть.
|
12.09.2021 20:50 Дата регистрации:
5 лет назад Посты: 188 | Исправление Терять мне больше нечего, поэтому попробую-ка я облегчить свою участь заменой икса из стартового топика на иксок получше. $a^2+b^2=c^2+x(c^2-b^2)$После преобразований приходим к рабочему уравнению: $a^2+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$В данном случае мы складываем площади и объёмы, чего делать человеку разумному просто уже неприлично, если учесть, какое отвратительное тысячелетие наступило в науке. Во избежание очередного конфуза, необходимо домножить первый член рабочего уравнения ну хотя бы на единицу, чтобы обеспечить баланс между да-числами и не-числами: $a^2×1+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$Вот теперь правильно, остаётся лишь выяснить, чему эта единица равна. Составляем формулу для икса: $x=\frac{a^2}{c^2-b^2}-1$Выводим отсюда значение единицы и подставляем её в рабочее уравнение: $a^2 (\frac{a^2}{c^2-b^2}-x)+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$В какую бы степень единицу ни возводить, ничего от этого не изменится. Если, конечно, это действительно единица: $a^2 (\frac{a^2}{c^2-b^2}-x)^2+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$$a^2 (\frac{a^2}{c^2-b^2}-x)^3+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$Сохранение равенства всех этих уравнений возможно только при $x=0$: $a^2+b^2=c^2$Это значит, что условие (1) невыполнимо ни для каких из тех чисел, которые в математике называются действительными, потому что на самом деле, если строить теорию правильно, действительные числа (да-числа) — это целые положительные, а недействительные числа (не-числа) — это целые отрицательные. Впрочем, тут много ещё нюансов, говорить о которых, судя по печальному опыту, всё ещё рановато. Себе дороже. Homo sapiens пока не созрел.
|
