Теорема Ферма в действительных числах

Автор темы spirin 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЧисло «Пи» рассчитано с рекордной точностью на «бюджетном» компьютере27.08.2021 22:26
ОбъявлениеРабота автором топиков и проектов на математическом треке Hyperskill24.09.2021 21:18
ОбъявлениеПреподаватель из Тайваня выкладывает на Pornhub лекции по математике и их смотрят тысячи людей27.09.2021 00:12
10.09.2021 09:19
Теорема Ферма в действительных числах
Если обозначить буквами $a,b,c$ действительные числа, а буквами $A,B,C$ натуральные числа, то, по общепринятому в математике положению, уравнение Ферма можно записать как в виде равенства, так и в виде неравенства:

(R) $a^n+b^n=c^n$

(N) $A^n+B^n≠C^n$

Справедливость уравнения (R) постулируется.

Справедливость уравнения (N) доказана.

Доказательство уравнения (R). Действительные корни уравнения (R) должны удовлетворять условию:

(1) $a^2+b^2>c^2$

Умножаем обе части неравенства (1) на число $a>0$:

(2) $a^3+ab^2>ac^2$

Поскольку $(c^2-b^2)>0$, всегда существует такое действительное число $x>0$, с помощью которого неравенство (2) можно превратить в равенство (3):

(3) $a^3+ab^2=ac^2+x(c^2-b^2)$

После преобразований приходим к уравнению (4):

(4) $a^3+b^2 (a+x)=c^2 (a+x)$

Представим число $a$ в виде $a=(a+x)-x$:

(5) $[(a+x)-x]^3+b^2 (a+x)=c^2 (a+x)$

Возводим квадратную скобку в куб:

(6) $(a+x)^3-3(a+x)^2 x+3(a+x) x^2-x^3+b^2 (a+x)=c^2 (a+x)$

Делим уравнение (6) на $(a+x)$:

$(a+x)^2-3(a+x)x+3x^2-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$

Раскрываем скобки:

$a^2+2xa+x^2-3ax-3x^2+3x^2-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$

$a^2+x^2-xa-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$

Условие (1) требует следующего неравенства:

$x^2-xa>\frac{x^3}{a+x}$

$x-a>\frac{x^2}{a+x}$

Умножаем обе части данного неравенства на $(a+x)>0$ и применяем формулу сокращённого умножения для разности квадратов:

$x^2-a^2>x^2$

$-a^2>0$

Вывод. Поскольку условие (1) невыполнимо для корней уравнения (R), теорема Ферма справедлива для всех действительных чисел.
10.09.2021 10:06
.
Цитата
spirin
Условие (1) требует следующего неравенства:

$x^2-xa>\frac{x^3}{a+x}$

Знак другой. Должно быть "<".
10.09.2021 10:48
О знаке
Цитата
r-aax
[Знак другой. Должно быть "<".
Но тогда получается, что $x<a$, однако из последнего уравнения следует обратный вывод:

$a^2+x(x-a)-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$

Отсюда ясно, что $x>a$, в противном случае условие (1) заведомо нарушено.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 10.09.2021 10:50.
10.09.2021 11:41
.
Не спешите.

Вы пишете:

Цитата
spirin
Условие (1) требует следующего неравенства:

$x^2-xa>\frac{x^3}{a+x}$

А должно быть:

Условие (1) требует следующего неравенства:

$x^2-xa<\frac{x^3}{a+x}$

Что из этого следует?
10.09.2021 12:43
qwe
Цитата
r-aax
Что из этого следует?
Из этого следует, что два неравенства, вытекающие из одного и того же уравнения, противоречат друг другу.
Остаётся, таким образом, один возможный вариант: $a=x$. Я его не приводил ввиду простоты опровержения, но если вы продемонстрируете такую возможность, это должно быть интересно.
10.09.2021 12:50
.
Условие (1) требует следующего неравенства:

$x^2-xa<\frac{x^3}{a+x}$

Вот с этого места поподробнее.
10.09.2021 13:50
qwe
Цитата
r-aax
Вот с этого места поподробнее.
$a^2+x^2-xa-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$

Допустим, $x<a$. Тогда $x^2-xa<0$. Дробь в уравнении всегда отрицательна, поскольку перед ней стоит знак «минус». Но тогда выходит, что $a^2+b^2<c^2$, а это противоречит условию (1).

Допустим, $x>a$. Тогда $x^2-xa>0$. Условие (1) требует, чтобы результат сложения данного положительного выражения с отрицательной дробью был положительным:

$x^2-xa>\frac{x^3}{a+x}$

Отсюда следует $-a^2>0$, что невозможно.

Остаётся, таким образом, последний вариант: $x=a$.
10.09.2021 14:00
.
Цитата
spirin
Допустим, $x<a$. Тогда $x^2-xa<0$. Дробь в уравнении всегда отрицательна, поскольку перед ней стоит знак «минус». Но тогда выходит, что $a^2+b^2<c^2$, а это противоречит условию (1).

Вы опять перепутали знак.
Да, $x^2-xa<0$.
Да, $-\frac{x^3}{a + x} < 0$.
И именно поэтому $a^2+b^2>c^2$. Так что все в порядке.
10.09.2021 15:38
йй
Цитата
r-aax
И именно поэтому $a^2+b^2>c^2$. Так что все в порядке.
Кажется, я чего-то не понимаю. Сумма двух отрицательных чисел может быть положительной?
10.09.2021 15:51
.
Если $a^2 + b^2 + x^2 - xa - \frac{x^3}{a+x} = c^2$
и $x^2 - xa - \frac{x^3}{a + x} < 0$,
то $a^2 + b^2 > c^2$.
Что Вас удивляет?
10.09.2021 16:37
qwe
Цитата
r-aax
Что Вас удивляет?
Стало быть, $x>a$?
10.09.2021 17:28
.
Цитата
spirin
Цитата
r-aax
Что Вас удивляет?
Стало быть, $x>a$?

Да это не важно, все равно $x^2 - xa - \frac{x^3}{a + x} < 0$, и противоречия нет.
10.09.2021 17:44
qwe
В общем вы правы, противоречия здесь нет. И всё же я где-то рассматривал вариант $x>a$, сейчас поищу. Думаю, если вы захотите, можете и сами убедиться в невозможности такого соотношения.
11.09.2021 07:14
qwe
Всё, нашёл подтверждение: все мои художества — полный бред.
11.09.2021 10:39
Ошибки и решение.
Разобраться в своих ошибках это уже почти решить любую задачу.
Это метод исключения несуществующих решений из всего множества решений, конечно если они есть.
12.09.2021 20:50
Исправление
Терять мне больше нечего, поэтому попробую-ка я облегчить свою участь заменой икса из стартового топика на иксок получше.

$a^2+b^2=c^2+x(c^2-b^2)$

После преобразований приходим к рабочему уравнению:

$a^2+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$

В данном случае мы складываем площади и объёмы, чего делать человеку разумному просто уже неприлично, если учесть, какое отвратительное тысячелетие наступило в науке. Во избежание очередного конфуза, необходимо домножить первый член рабочего уравнения ну хотя бы на единицу, чтобы обеспечить баланс между да-числами и не-числами:

$a^2×1+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$

Вот теперь правильно, остаётся лишь выяснить, чему эта единица равна.

Составляем формулу для икса:

$x=\frac{a^2}{c^2-b^2}-1$

Выводим отсюда значение единицы и подставляем её в рабочее уравнение:

$a^2 (\frac{a^2}{c^2-b^2}-x)+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$

В какую бы степень единицу ни возводить, ничего от этого не изменится. Если, конечно, это действительно единица:

$a^2 (\frac{a^2}{c^2-b^2}-x)^2+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$

$a^2 (\frac{a^2}{c^2-b^2}-x)^3+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$

Сохранение равенства всех этих уравнений возможно только при $x=0$:

$a^2+b^2=c^2$

Это значит, что условие (1) невыполнимо ни для каких из тех чисел, которые в математике называются действительными, потому что на самом деле, если строить теорию правильно, действительные числа (да-числа) — это целые положительные, а недействительные числа (не-числа) — это целые отрицательные. Впрочем, тут много ещё нюансов, говорить о которых, судя по печальному опыту, всё ещё рановато. Себе дороже. Homo sapiens пока не созрел.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти