Проблема Гольдбаха

Теорема теории чисел, получившая в дальнейшем название «проблема Гольдбаха», выдвинута Х.Гольдбахом в 1742 году и лишь в 1937 году И.М.Виноградов доказал ее для достаточно больших нечетных чисел, но в общем виде она оставалась недоказанной.
ТЕОРЕМА.
Любое целое положительное число х, большее или равное 6 (х ≥6) можно представить в виде суммы трех простых чисел.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Возможны два случая: х - четное или х - нечетное.
Простыми числами являются «2» и некоторые нечетные числа. Если х - четное, то для х=6 утверждение теоремы проверяется непосредственно: 6=2+2+2. Для х≥8 данное представление будет выражаться в виде х=2+b+с, где b и с – простые нечетные числа (b и с могут быть равны между собой). Докажем это методом математической индукции. Для начального случая х=8 это утверждение верно: 8=2+3+3. Также для начального случая верно представление в виде x=m+n, где m и n - простые нечетные числа: 8=5+3. Предположим, что некоторое четное число можно представить в виде x=2+b+c=m+n, где b, с, m, n - простые нечетные числа (некоторые их них могут быть равны между собой). Тогда x+2=2+b+c+2=2+m+n. Другими словами, х+2 также можно представить как сумму трёх простых чисел: 2, m, n.
Если n - нечетное, то для х=7 утверждение теоремы проверяется непосредственно: 7=2+2+3. Для х≥ 9 данное представление будет выражаться в виде х=а+b+с, где а, b, с - простые нечетные числа (они могут быть равны между собой). Докажем это методом математической индукции. Для начального случая х=9 это утверждение верно: 9=3+3+3. Предположим, что некоторое нечетное число можно представить в виде х=а+b+с, где а, b, с - простые нечетные числа (некоторые из них могут быть равны между собой). Тогда х+2=2+а+b+с. Так как а и b - нечетные числа, то (а+b+2) - четное число. По доказанному выше, любое четное число можно представить в виде х=2+m+n, где m, n - простые нечетные числа. Тогда любое четное число (х-2) можно представить в виде (x-2)=m+n. Значит (2+a+b)=m+n. Тогда x+2=(2+a+b)+c=m+n+c. Другими словами, (х+2) также можно представить как сумму трех простых чисел: m, n, с.
Таким образом, любое целое число х≥6 можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Теорема доказана.

6k + 0 = p1 + p2 = (6a + 1) + (6b - 1)
6m + 1 = p1 + p2 + p3 = 6(m - q) + p3 = 6k + p3
6n + 2 = p4 + p5 = 6k + p3 + 6t+ p3 = 6*(k + t) + 2*p3 = 6k + p3 + 6t+ p6 = 6*(k + t) + (p3 + p6)
6r + 3 = p7 + p8 + p9 = (6s + 0) + p10(==3)
6u + 4 = p11 + p12 = (6c - 1) + (6d - 1)
6w + 5 = p13 + p14 + p15 = (6e - 1) + (6g - 1) + (6h + 1)
А вот это всегда ли будет?
6k + 0 = p1 + p2 = (6a + 1) + (6b - 1) ??

6*(k + t) + (p3 + p6)
А вот это на них не похоже? Какие-то еще есть?