Вопрос по пределам

Автор темы irenemars 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПремия для молодых математиков Образовательного фонда «Талант и успех»21.06.2021 00:48
ОбъявлениеРабота автором топиков и проектов на математическом треке Hyperskill24.09.2021 21:18
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2022/202314.10.2021 12:28
21.09.2021 03:28
Вопрос по пределам
Помогите, пожалуйста, решить следующее задание:

Найдите первый неверный шаг в последующем “доказательстве” и объясните почему шаг неверен:
Если lim x->z f(x)g(x) = A, тогда существуют числа B и C которые отвечают следующим требованиям:
lim x->z f(x) = B
lim x->z g(x) = C
И тогда A = BC

Доказательство: Нам дано lim x->z f(x)g(x) = A , тогда:

lim x->z f(x)g(x) = (lim x->z f(x)) ( lim x->z g(x)) (шаг 1)
Пусть B будет пределом лимита lim x->z f(x) а C будет пределом лимита lim x->z g(x) :
lim x->z f(x) = B
lim x->z g(x) = C
Из теоремы по умножению пределов следует что A = BC
21.09.2021 11:06
Не верный шаг первый
Вы написали:
lim x->z f(x)g(x) = (lim x->z f(x)) ( lim x->z g(x)) и назвали это "шаг 1",
вероятно, имея ввиду, что это есть шаг доказательства.
В действительности же это есть переформулировка того, что следует доказать.

Существует теорема:
Если $\lim_{x->z}f(x) = B$ и $\lim_{x->z} g(x) = C$, то существует $\lim_{x->z} f(x)g(x)$, и он равен ВС.
Обратное не верно.
Например, существует предел постоянной последовательности $a_n = 1$,
он равен 1 , и данная последовательность равна произведению двух одинаковых последовательностей:
$a_n = 1 = b_nc_n$, где $ b_n=c_n=(-1)^n$
При этом обе последовательности не имеют предела: $ b_n=c_n=(-1)^n=\;-1\;,1\;,-1\;,1\;,...$ - в них последовательно чередуются -1 и 1.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти