Сумма Римана - это, на самом деле, про теорему о среднем

Up!

Цитата
misgin005gmail.com
Смотреть формулу, которой пока еще нет в учебниках: https://ic.pics.livejournal.com/mishin05/29951766/1145219/1145219_original.jpg

Хорошо.
Вы можете доказать самое первое равенство из приведённой на картинке цепочки?

Цитата
misgin005gmail.com
То, что на ограниченном сегменте прямой все части этого сегмента при устремлении их количества к бесконечности будут равны по длине и будут, вследствие этого, являться дифференциалами? Так это следует из определения производной, согласно которому дифференциал не зависит от размера приращения аргумента. Читайте учебники... ))

Потом, вследствие этого, выносите этот сомножитель за скобки и в скобках получаете сумму длин вертикальных отрезков. Предел произведения равен произведению пределов. Что тут доказывать?! То, что в пределе все ширины прямоугольников одинаковые?!

И это - не равенство. Так как формула не соответствует изображению. На изображении отмечены пределы, а в формуле условий суммы Римана они отсутствуют. Я не виноват в том, что эту тему продвигали люди, математически не компетентные. ))

Вы на Вашем изображении нарисовали следующую формулу:

$ \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i = 1}^{n}{f(\xi_i) \Delta x_i}} \equiv \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i = 1}^{n}{f(\xi_i)}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}{\Delta x_i} \big|_a^b $

Причем в виде тождества. То есть утверждаете, что данное равенство имеет место быть для любой функции $f$ и для любого сегмента $[a, b]$.
Вы можете ее доказать?

Цитата
misgin005gmail.com
Обе части тождества аналитически описывают одно и то же изображение принятое для иллюстрация к понятию: "интеграл Римана".

Левая часть тождества никак не связана ни с каким предельным сегментом. Правая часть ограничена пределами.

Вы пишете: "...Вы можете ее доказать?" Кого или чего: ЕЕ?

В итоговой части формулы стоит определенный интеграл. У НЕГО ЕСТЬ ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ. Что соответствует условию правой части тождества.

Левая часть тождества не имеет никаких ограничений и пределов. То есть, это аналитическое выражение НЕ ИМЕЕТ НИКАКОГО ОТНОШЕНИЯ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ.

Все условия по применению "интеграла Римана" указаны в начальных условиях.

То есть, я Вам показываю, что в вашей теории имеется ФУФЛО которое Вы тычете студентам. Вместо того, чтобы признать, что это именно ФУФЛО Вы набираетесь наглости напрягать меня какими-то доказательствами, которые ни имеют никакого отношения к формуле, которую я предоставил. Это ХУЦПА?! )))

Вы обнаружили ошибку в моей формуле? Покажите!

Еще раз.
Вы предложили всем "смотреть формулу, которой пока еще нет в учебниках".
Предложенная формула состоит из нескольких равенств.
Я беру прям первое из этих равенств, вот это:

$ \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i = 1}^{n}{f(\xi_i) \Delta x_i}} \equiv \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i = 1}^{n}{f(\xi_i)}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}{\Delta x_i} \big|_a^b $

Это некая формула, в которой можно наблюдать функцию одной переменной $f(x)$ на сегменте $[a, b]$, и некоторые действия, выполняемые с помощью разбиений сегмента, вычисления значений функции в некоторых точках, суммирования и взятия пределов последовательностей. Никаких других математических объектов в этой формуле не обозначено.
Вы утверждаете, что эта формула верна. У меня возникает резонный вопрос - Вы можете математически доказать сей факт?

Понятно, приведенную свою формулу (даже самое первое равенство) Вы доказывать не собираетесь.
Вот эта формула:

$ \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i = 1}^{n}{f(\xi_i) \Delta x_i}} \equiv \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i = 1}^{n}{f(\xi_i)}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}{\Delta x_i} \big|_a^b $

Оно и понятно, потому что данная формула неверна (и даже некорректно записана).
... по этим причинам:

1. Использование обозначения $\big|_a^b$ в данной формуле некорректно. Это обозначение используется для сокращенной записи разности значений некоторой функции в двух точках: $f(x) \big|_a^b = f(b) - f(a)$. Применение данного действия к числу, что имеет место в приведенной формуле, даст в результате просто ноль.

2. Запись $\lim_{n \rightarrow \infty}{\Delta x_i}$ некорректна, так как в этом выражении не определен смысл переменной $i$. Данная переменная определена только внутри суммирования.

3. Касательно предыдущего пункта. Даже если предположить, что под $\Delta x_i$ подразумевается длина одного из кусочков разбиения $\Delta x_i$, то получим просто $\lim_{n \rightarrow \infty}{\Delta x_i} = 0$.

4. Предел $\lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i = 1}^{n}{f(\xi_i)}}$ не существует даже для вполне безобидных функций, например для функции $f(x) = 1$.

5. Вы на словах пытаетесь оправдать данную формулу заклинанием:

Цитата
misgin005gmail.com
Предел произведения равен произведению пределов.

Подразумевая по всей видимости свойство произведения двух сходящихся последовательностей. Однако, во-первых, Вы неправильно формулируете это свойство (формулировка "предел произведения равен произведению пределов" - это принципиально неверное утверждение); во-вторых, в приведенной формуле нет ни двух сходящихся последовательностей, произведение которых вы хотите рассмотреть, ни их произведения.

Ввиду вышеперечисленных пунктов можно сделать вывод, что приведенная формула неверна.

P.S. Честно говоря, уже с самого начала, было все ясно, после того, как Вы нарисовали свою формулу в виде картинки и сразу заявили, что

Цитата
misgin005gmail.com
Так как формула не соответствует изображению.

То есть формула нарисована на изображении, но она не соответствует изображению? ))