Теорема равномощности N и множества (0,1) - |N|=|(0, 1)|

Здравствуйте. Предлагаю на обсуждение теорему равномощности множества натуральных чисел и множества (0, 1).

Теорема
$|N|=|(0, 1)|$

Доказательство
1) $C = (0, 1)$

$c ∈ C$

$j = 1..9$

$D_j ⊂ N$, где $D_j =\{j \cdot 10^{1} , j \cdot 10^{2}, j \cdot 10^{3}, j \cdot 10^{4}, j \cdot 10^{5}, …\}$

$K_{j} ⊂ N$, где $K_{j}$ такое, что $k_{j}$ ($k_{j} ∈ K_{j}$) начинаются с $j$ и имеет минимум 2 разряда, $K_{j} ∩ D_{j} = Ø$.


2) $C → K_{j}$

$0, a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} … a_{i} → j a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} … a_{i}$ *, где $i$ – количество знаков после запятой в $c$

$a_{1} \cdot 10^{-1} + a_{2} \cdot 10^{-2} + a_{3} \cdot 10^{-3} + … + a_{i} \cdot 10^{-i} → j \cdot 10^{i} + a_{1} \cdot 10^{i-1} + a_{2} \cdot 10^{i-2} + a_{3} \cdot 10^{i-3} + … + a_{i} \cdot 10^{0}$

$|C|=|K_{j}|$

* Примеры:
0,2345 → 12345, при j = 1, i = 4
0,00314 → 500314, при j = 5, i = 5

Мощность множества $(0, 1)$ равна мощности множества $K_{j}$, а значит и $N$, так как для любого $c$ из $(0, 1)$ найдется соответствующее $k_{j}$, а для любого $k_{j}$ - соответствующее $c$.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.06.2022 10:51.

Число пи/6 или какое-либо другое должно быть представлено в виде $a_{1} \cdot 10^{-1} + a_{2} \cdot 10^{-2} + a_{3} \cdot 10^{-3} + … + a_{i} \cdot 10^{-i}$



Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.06.2022 16:18.

А чему равно пи/6? Мы не можем вычислить его "до конца", мы и представляем его в виде некоего выражения (отношение длины окружности к её диаметру), значит соответствующее натуральное число можно представить только в виде выражения. В целом склонен в данной теореме исключить множество иррациональных чисел из множества (0,1). При этом в целом теорема не потеряет в "весе".

Схожий вопрос относительно 1/3. Но, во-первых, с вычислением ai проблем нет, а, во-вторых, результат будет за границами существующих математических операторов. Так 0,(3) всем понятно, а вот 5(3) при j=5 вызывает вопросы, хотя мы можем представить бесконечную десятичную периодическую дробь с тройками в дробной части. Аналогом ей будет бесконечно большое натуральное число, состоящее из 3. Бесконечное в том же понятии, что и дробная часть 0,(3).

http://www.mathforum.ru/forum/read/1/102630/ Здесь показано как показать равномощность множеств N и R. Для тех, кто продолжает сомневаться несколько переопределим счётное множество Назовём счётным такое множество, каждому элементу которого можно присвоить уникальный номер, последние n цифр которого представляют собой число натурального ряда.