Найти объём тела ограниченого поверхностями

Автор темы mjervi 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
18.06.2022 20:05
Найти объём тела ограниченого поверхностями
Здравствуйте, прохожу интегралы и наткнулся на такую проблему:

Найти объём тела ограниченого поверхностями: 4z=x^2+y^2, x^2+y^2=4, z=0, z=1.
Найти объём нужно через тройной интеграл. Проблема у меня заключается в том что я не знаю правильно ли я расставил пределы в интегралы.
Вот для "z" понятно от 0 до 1. Для "y" у меня получились границы от -2 до 4-x^2 и для "х" получились от -2 до 2.
Но как показать что это тело ограничено также эллиптическим параболоидом (4z=x^2+y^2) ?
На ютубе и в гугле есть только "идеальные" примеры, которые на практике редко встречаются.
Подскажите пожалуйста кто знает, очень нужна помощь.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 18.06.2022 20:23.
19.06.2022 22:21
объём
Заменить x=Rcosa, y=Rsina, сделать для четвертушки и умножить на 4.
19.06.2022 22:49
объём
А, через цилиндрические координаты получается. А как должен выглядеть сам тройной интеграл?

Якобиан понятно - dRdAdZ

А вот какой будет подинтегральная функция? и какие будут пределы?
19.06.2022 23:23
Ваши поверхности выделяют две ограниченные фигуры:
Первая фигура - сегмент параболоида, отсечённый плоскостью z -= 1.
Вторая фигура - часть кругового цилиндра, ограниченная снизу плоскостью z = 0, с боков цилиндрической поверхностью x^2+y^2=4, с верху параболической поверхностью x^2+y^2=4.
Менять координаты нет необходимости. Тройной интеграл берётся от dxdydz по рассматриваемой фигуре V.
При переходе к повторному интегралу для второй фигуры пределы: от 0 до $0,5\sqrt{x^2+y^2}$; у от $ -\sqrt{4-x^2}$ до $+\sqrt{4-x^2}$; х от -2 до +2.
Можно сделать и замену.
19.06.2022 23:49
Объём фигуры
Спасибо за ответ. Хотел ещё уточнить.
То есть в результате мне нужно будет обчислить тройной интеграл с границами, которые вы написали, функции: (1-(x^2+y^2)/4 ?

И ещё, не совсем понял о верхней границе z, почему 0,5x^2+y^2, а не (x^2+y^2)/4 ?
20.06.2022 20:14
Прошу прощения
Цитата
mjervi
Спасибо за ответ. Хотел ещё уточнить.
То есть в результате мне нужно будет обчислить тройной интеграл с границами, которые вы написали, функции: (1-(x^2+y^2)/4 ?

И ещё, не совсем понял о верхней границе z, почему 0,5x^2+y^2, а не (x^2+y^2)/4 ?
Действительно, для z пределы иные, нежели я выше написал:
От 0 до (x^2+y^2)/4.
Что касается задания, то обычно даются границы, определяющие одну фигуру, Может быть нужно уточнить у преподавателя? Может быть, нужно вычислить объём обеих фигур. Может быть объём одной фигуры вычислить интегрированием, а второй объём получить вычитанием полученного объёма из объёма цилиндра.
20.06.2022 21:30
Объём фигуры
Я вот тоже думаю что нужно найти объём циилиндра и вычесть из него объём параболоида.

А вот если верхней границей z будет 1,может интегрируемая функция будет (x^2+y^2)/4-sqrt(4-x^2)?
Или это уже неправильно будет, а то я что-то запутался
20.06.2022 23:46
Этого я не понял
Цитата
mjervi
А вот если верхней границей z будет 1,может интегрируемая функция будет (x^2+y^2)/4-sqrt(4-x^2)?
Или это уже неправильно будет, а то я что-то запутался
Если вычислять двойным интегралом, например для верхней части (над параболоидом), то интеграл будет браться по области, являющейся кругом в плоскости хОу., от функции двух переменных:
(1 - (x^2+y^2)/4)dxdy.
21.06.2022 12:31
Объём фигуры
В задании ещё и написано, что объём нужно вычислить с помощью тройного интеграла. Значит нужно найти объём тела под параболоидом.
А зачем тогда указана верхняя граница Оz, если тело всё равно под параболоидом? Ну ладно, если считать тело под параболидом- интегрируемая функция будет sqrt(4-x^2)?
С ограничениями по z от 0 до (x^2+y^2)/4, по y от -sqrt(4-x^2) до sqrt(4-x^2) и по х от -2 до 2.
22.06.2022 00:22
Это не факт
Цитата
mjervi
В задании ещё и написано, что объём нужно вычислить с помощью тройного интеграла. Значит нужно найти объём тела под параболоидом.
А зачем тогда указана верхняя граница Оz, если тело всё равно под параболоидом? Ну ладно, если считать тело под параболидом- интегрируемая функция будет sqrt(4-x^2)?
С ограничениями по z от 0 до (x^2+y^2)/4, по y от -sqrt(4-x^2) до sqrt(4-x^2) и по х от -2 до 2.
Не факт, что "нужно найти объём тела под параболоидом,"- возможно, что над параболоидом. В любом случае объём можно сразу вычислять как двойной интеграл по кругу, но также и как тройной интеграл по одной из фигур.
24.06.2022 00:33
Границы двойного интеграла
Нужно вычислить двойной интеграл функции x/(x^2+y). D: y=1, x>=0, x^2=y.
Хочу понять правильно ли я поставил границы интегрирования, у меня они получились такие:
для "x": от 0 до sqrt(y), для "y":от 0 до 1. Как обчислить я знаю, хочу узнать на счёт границ.
Помогите кто точно знает, очень нужна помощь.
24.06.2022 17:33
Объём фигуры
Хорошо, я решил считать объём фигуры над параболоидом.

Значит границы будут:
для "х": от -2 до 2
для "у": от -sqrt(4-x^2) до sqrt(4-x^2)
для "z": от (x^2+y^2)/4 до 1
Такие же получатся границы? И если да, то какую функцию интегрировать?
Просто 1? Я же уже все ограничения задал, получается по единице интегрировать?
01.07.2022 22:04
Объём фигуры
Оба объема (над параболоидом и под параболоидом равны) и каждый равен 2pi.
05.07.2022 17:14
Решение заданий
Добрый день всем. Листала форумы, и наткнулась на ваш пост. Буквально недавно сама нашла один сайт, и была очень удивлена. https://www.mathproblemsbank.net/home/real-integrals?c=76_81 Очень много разных заданий с решениями, почти все разделы математики там включены, Думаю подойдет многим
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти