18.06.2022 20:05 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 10 | Найти объём тела ограниченого поверхностями Здравствуйте, прохожу интегралы и наткнулся на такую проблему: Найти объём тела ограниченого поверхностями: 4z=x^2+y^2, x^2+y^2=4, z=0, z=1. Найти объём нужно через тройной интеграл. Проблема у меня заключается в том что я не знаю правильно ли я расставил пределы в интегралы. Вот для " z" понятно от 0 до 1. Для " y" у меня получились границы от -2 до 4-x^2 и для " х" получились от -2 до 2. Но как показать что это тело ограничено также эллиптическим параболоидом ( 4z=x^2+y^2) ? На ютубе и в гугле есть только "идеальные" примеры, которые на практике редко встречаются. Подскажите пожалуйста кто знает, очень нужна помощь. Редактировалось 1 раз(а). Последний 18.06.2022 20:23.
|
19.06.2022 22:21 Дата регистрации:
4 года назад Посты: 71 | объём Заменить x=Rcosa, y=Rsina, сделать для четвертушки и умножить на 4.
|
19.06.2022 22:49 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 10 | объём А, через цилиндрические координаты получается. А как должен выглядеть сам тройной интеграл? Якобиан понятно - dRdAdZ А вот какой будет подинтегральная функция? и какие будут пределы?
|
19.06.2022 23:23 Дата регистрации:
15 лет назад Посты: 2 928 | Ваши поверхности выделяют две ограниченные фигуры: Первая фигура - сегмент параболоида, отсечённый плоскостью z -= 1. Вторая фигура - часть кругового цилиндра, ограниченная снизу плоскостью z = 0, с боков цилиндрической поверхностью x^2+y^2=4, с верху параболической поверхностью x^2+y^2=4. Менять координаты нет необходимости. Тройной интеграл берётся от dxdydz по рассматриваемой фигуре V. При переходе к повторному интегралу для второй фигуры пределы: от 0 до $0,5\sqrt{x^2+y^2}$; у от $ -\sqrt{4-x^2}$ до $+\sqrt{4-x^2}$; х от -2 до +2. Можно сделать и замену.
|
19.06.2022 23:49 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 10 | Объём фигуры Спасибо за ответ. Хотел ещё уточнить. То есть в результате мне нужно будет обчислить тройной интеграл с границами, которые вы написали, функции: (1-(x^2+y^2)/4 ? И ещё, не совсем понял о верхней границе z, почему 0,5x^2+y^2, а не (x^2+y^2)/4 ?
|
20.06.2022 20:14 Дата регистрации:
15 лет назад Посты: 2 928 | Прошу прощения Цитата
mjervi
Спасибо за ответ. Хотел ещё уточнить.
То есть в результате мне нужно будет обчислить тройной интеграл с границами, которые вы написали, функции: (1-(x^2+y^2)/4 ?
И ещё, не совсем понял о верхней границе z, почему 0,5x^2+y^2, а не (x^2+y^2)/4 ?
Действительно, для z пределы иные, нежели я выше написал: От 0 до (x^2+y^2)/4. Что касается задания, то обычно даются границы, определяющие одну фигуру, Может быть нужно уточнить у преподавателя? Может быть, нужно вычислить объём обеих фигур. Может быть объём одной фигуры вычислить интегрированием, а второй объём получить вычитанием полученного объёма из объёма цилиндра.
|
20.06.2022 21:30 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 10 | Объём фигуры Я вот тоже думаю что нужно найти объём циилиндра и вычесть из него объём параболоида. А вот если верхней границей z будет 1,может интегрируемая функция будет (x^2+y^2)/4-sqrt(4-x^2)? Или это уже неправильно будет, а то я что-то запутался
|
20.06.2022 23:46 Дата регистрации:
15 лет назад Посты: 2 928 | Этого я не понял Цитата
mjervi
А вот если верхней границей z будет 1,может интегрируемая функция будет (x^2+y^2)/4-sqrt(4-x^2)?
Или это уже неправильно будет, а то я что-то запутался
Если вычислять двойным интегралом, например для верхней части (над параболоидом), то интеграл будет браться по области, являющейся кругом в плоскости хОу., от функции двух переменных: (1 - (x^2+y^2)/4)dxdy.
|
21.06.2022 12:31 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 10 | Объём фигуры В задании ещё и написано, что объём нужно вычислить с помощью тройного интеграла. Значит нужно найти объём тела под параболоидом. А зачем тогда указана верхняя граница Оz, если тело всё равно под параболоидом? Ну ладно, если считать тело под параболидом- интегрируемая функция будет sqrt(4-x^2)? С ограничениями по z от 0 до (x^2+y^2)/4, по y от -sqrt(4-x^2) до sqrt(4-x^2) и по х от -2 до 2.
|
22.06.2022 00:22 Дата регистрации:
15 лет назад Посты: 2 928 | Это не факт Цитата
mjervi
В задании ещё и написано, что объём нужно вычислить с помощью тройного интеграла. Значит нужно найти объём тела под параболоидом.
А зачем тогда указана верхняя граница Оz, если тело всё равно под параболоидом? Ну ладно, если считать тело под параболидом- интегрируемая функция будет sqrt(4-x^2)?
С ограничениями по z от 0 до (x^2+y^2)/4, по y от -sqrt(4-x^2) до sqrt(4-x^2) и по х от -2 до 2.
Не факт, что "нужно найти объём тела под параболоидом,"- возможно, что над параболоидом. В любом случае объём можно сразу вычислять как двойной интеграл по кругу, но также и как тройной интеграл по одной из фигур.
|
24.06.2022 00:33 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 10 | Границы двойного интеграла Нужно вычислить двойной интеграл функции x/(x^2+y). D: y=1, x>=0, x^2=y. Хочу понять правильно ли я поставил границы интегрирования, у меня они получились такие: для "x": от 0 до sqrt(y), для "y": от 0 до 1. Как обчислить я знаю, хочу узнать на счёт границ. Помогите кто точно знает, очень нужна помощь.
|
24.06.2022 17:33 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 10 | Объём фигуры Хорошо, я решил считать объём фигуры над параболоидом. Значит границы будут: для "х": от -2 до 2для "у": от -sqrt(4-x^2) до sqrt(4-x^2)для "z": от (x^2+y^2)/4 до 1Такие же получатся границы? И если да, то какую функцию интегрировать? Просто 1? Я же уже все ограничения задал, получается по единице интегрировать?
|
01.07.2022 22:04 Дата регистрации:
16 лет назад Посты: 98 | Объём фигуры Оба объема (над параболоидом и под параболоидом равны) и каждый равен 2pi.
|
05.07.2022 17:14 Дата регистрации:
2 года назад Посты: 1 | Решение заданий Добрый день всем. Листала форумы, и наткнулась на ваш пост. Буквально недавно сама нашла один сайт, и была очень удивлена. https://www.mathproblemsbank.net/home/real-integrals?c=76_81 Очень много разных заданий с решениями, почти все разделы математики там включены, Думаю подойдет многим
|
