Равномощность множеств натуральных и действительных чисел

Автор темы guestfromspace 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
12.07.2022 16:20
Равномощность множеств натуральных и действительных чисел
Примерно месяц назад, а, точнее, 13 июня я нашел доказательство равномощности множества натуральных и множества действительных чисел. Доказательство я опубликовал на своем сайте: https://guestfromspace.wixsite.com/mods-and-texts/power-omega-rus
Потом я начал посылать письма в различные университеты. Из полутора десятков откликнулись только два. По существу - только один. В ответе рекомендовалось обратиться в какой-нибудь солидный математический журнал. Отправил письма в три - безрезультатно. Может что-нибудь посоветуете?
12.07.2022 23:23
.
Цитата
guestfromspace
Может что-нибудь посоветуете?
Можно посоветовать аккуратнее обращаться с фразами "и т. д." в вопросах, связанных с бесконечностями...
13.07.2022 02:29
Равномощность множеств натуральных и действительных чисел
Цитата
r-aax
Цитата
guestfromspace
Может что-нибудь посоветуете?
Можно посоветовать аккуратнее обращаться с фразами "и т. д." в вопросах, связанных с бесконечностями...
Не подскажете-ли, что конкретно Вы имеете ввиду?
13.07.2022 23:39
.
Цитата
guestfromspace
Цитата
r-aax
Цитата
guestfromspace
Может что-нибудь посоветуете?
Можно посоветовать аккуратнее обращаться с фразами "и т. д." в вопросах, связанных с бесконечностями...
Не подскажете-ли, что конкретно Вы имеете ввиду?
Конкретно, в приведённом по ссылке Предложении 1 использование перехода и т. д. некорректно.
13.07.2022 23:50
мощность множеств
Если интересно, то http://www.mathforum.ru/forum/read/1/102630/ Здесь показана равномощность множеств N и R. Для тех, кто продолжает сомневаться несколько переопределим счётное множество. Назовём счётным такое множество, каждому элементу которого можно присвоить уникальный номер, последние n цифр которого представляют собой число натурального ряда. Да и вообще нет бесконечных множеств, кроме счётного.
14.07.2022 02:42
Равномощность множеств натуральных и действительных чисел
Цитата
borisgrinevich
Если интересно, то http://www.mathforum.ru/forum/read/1/102630/ Здесь показана равномощность множеств N и R. Для тех, кто продолжает сомневаться несколько переопределим счётное множество. Назовём счётным такое множество, каждому элементу которого можно присвоить уникальный номер, последние n цифр которого представляют собой число натурального ряда. Да и вообще нет бесконечных множеств, кроме счётного.
Я программист, а не математик. Логика - это мое хобби. Поэтому, к сожалению, на этот счет я ничего конкретного Вам сказать не могу.
14.07.2022 02:54
Равномощность множеств натуральных и действительных чисел
Цитата
r-aax
Цитата
guestfromspace
Цитата
r-aax
Цитата
guestfromspace
Может что-нибудь посоветуете?
Можно посоветовать аккуратнее обращаться с фразами "и т. д." в вопросах, связанных с бесконечностями...
Не подскажете-ли, что конкретно Вы имеете ввиду?
Конкретно, в приведённом по ссылке Предложении 1 использование перехода и т. д. некорректно.
"и т. д." означает следующее: разбиение существует вне зависимости от того применяем мы этот алгоритм или нет. Оно уже есть - потому что множество счетно. А если есть в одном множестве - значит и во всех других.
14.07.2022 08:40
.
Доказывая равномощность множеств A и B, нужно обеспечить существование взаимно однозначного соответствия между их элементами. Рассматривая вместо счетного множества счетное объединение счетных множеств, сохранить такое соответствие можно. Делая это конечное число раз, сохранить такое соответствие можно. Но для выполнения бесконечного количества таких действий одного "и т. д." мало.
15.07.2022 03:24
Равномощность множеств натуральных и действительных чисел
Цитата
r-aax
Доказывая равномощность множеств A и B, нужно обеспечить существование взаимно однозначного соответствия между их элементами. Рассматривая вместо счетного множества счетное объединение счетных множеств, сохранить такое соответствие можно. Делая это конечное число раз, сохранить такое соответствие можно. Но для выполнения бесконечного количества таких действий одного "и т. д." мало.
Применить алгоритм один раз. Первое оставить неизменным. К второму применяем один раз. К третьему - два. К четвертому - три... И т. д. Если не применять алгоритм, а просто заменять счетное объединением счетных и взять объединение получившихся, то в пределе получится столько же сколько у последовательности цифр, меняющихся от нуля до бесконечности из второго доказательства второго пункта. Но в омеге больше сидит...
15.07.2022 08:54
.
Цитата
guestfromspace
Применить алгоритм один раз. Первое оставить неизменным. К второму применяем один раз. К третьему - два. К четвертому - три... И т. д.
Если я правильно понял это вольное описание, то таким образом генерится множество, равномощное множеству всех конечных последовательностей натуральных чисел. С этим проблем нет. Проблема возникает при попытке применить заявленный "алгоритм" бесконечное количество раз к какому-то множеству.
15.07.2022 22:14
Равномощность множеств натуральных и действительных чисел
Я имею ввиду $ \lim_{N \to \omega}\sum_{n=1}^{N} \omega^n $. С дробями такая фишка проходит. Почему здесь - нет?
16.07.2022 00:43
.
Что Вы понимаете под записанным таким образом пределом? Какая фишка проходит с дробями?
17.07.2022 03:47
Равномощность множеств натуральных и действительных чисел
Ну, конечно, вместо знака суммы должен стоять знак объединения, а вместо омеги под пределом должна стоять бесконечность - это я для наглядности написал. Это объединение очень напоминает сумму геометрической прогресии - только показатель немного необычный. Это объединение - краткая запись нестрогих рассуждений в конце моей первой статьи - там я линейно упорядоченное фундированное множество разбиваю на уровни - эти уровни - суть выражение внутри суммы. Ну, конечно, немного путано получилось - да тогда я и не очень представлял что я делаю. А дроби... Я уже видел подобный предел - в бесконечных дробях - я имею ввиду двойную запись единицы - с нулем и девяткой в периоде. Конечно, выражение было немного другим - но там суммирование повышает максимальный показатель степени на единицу. Если вспомнить формулу суммы геометрической прогресии, и если, как Вы пишете, что никто, на самом деле не знает, как выглядит омега в степени омега (Вы ведь это имели ввиду, когда засомневались в моем "и т. д.?) - так, может, и принять эту формулу в качестве определения? Но это, скорее, вопрос риторический - на будущее.
А сейчас у меня вопрос по теореме Кантора. Никак не могу дойти самостоятельно - искал в литературе - не нашел... Если б знал на него ответ, тогда бы и статьи мои на эту тему выглядели бы по-другому. Из чего следует, что для функции $f: P(A) \to A$ должно существовать множество $X = \{ a \in f[P(A)]|a \notin f^{-1}(a)\} $ ?
18.07.2022 03:19
Равномощность множеств натуральных и действительных чисел
Конечно, у меня есть предположение, что это - одна из аксиом Цермело-Френкеля. Их всего восемь. В книжке, которая у меня под рукой - Ершов,Палютин "Математическая логика" М. Наука 1987 - шесть из них на 91 странице. Та, которая нужна - шестая.
Цитата
r-aax
Насколько я понял все что есть полезного в моих статьях это алгоритм разбиения и макро числа - и чтобы люди их могли использовать - их нужно опубликовать в каких-нибудь математических журналах. Может поспособствуете? Я буду - автор, Вы - научный консультант. Маленький размер статьи можно компенсировать количеством журналов. Гонорар - пополам. Конечно, нужно сначала посмотреть, являюсь ли я первым, кто их предложил (даты можно посмотреть в скачиваемых архивах) - я вряд ли это смогу. Ну как?
25.07.2022 12:06
.
Очень сложно комментировать текст, содержащий обороты "ну, конечно, вместо знака суммы должен стоять знак объединения...", "для наглядности", "только показатель немного необычный", "краткая запись нестрогих рассуждений" и прочее. Такими нестрогими схематичными рассуждениями для наглядности можно что угодно получить. По поводу заданного вопроса - аксиома "существование подмножества, элементы которого удовлетворяют заданному свойству" как раз к месту.

Цитата
guestfromspace
Насколько я понял все что есть полезного в моих статьях это алгоритм разбиения и макро числа - и чтобы люди их могли использовать - их нужно опубликовать в каких-нибудь математических журналах. Может поспособствуете? Я буду - автор, Вы - научный консультант. Маленький размер статьи можно компенсировать количеством журналов. Гонорар - пополам. Конечно, нужно сначала посмотреть, являюсь ли я первым, кто их предложил (даты можно посмотреть в скачиваемых архивах) - я вряд ли это смогу. Ну как?

Если считаете нужным - публикуйте, только меня не привлекайте к этому процессу)
P.S. Если Вы думаете, что на публикациях можно заработать, то могу Вас разочаровать...



Редактировалось 1 раз(а). Последний 25.07.2022 12:06.
04.08.2022 08:27
Равномощность множеств натуральных и действительных чисел
Как-то на просторах и-нета я наткнулся на упоминание бинома Ньютона в связи с мощностью действительных чисел: тогда я удивился - причем тут бином Ньютона? Но теперь, кажется, начинаю понимать. Я не уверен, что все было именно так - но все-таки...
Предложение 1а. Множество мощности омега равномощно множеству, являющемуся объединением множеств, мощности которых являются конечными степенями омеги. Применим алгоритм один раз - получим счетное семейство счетных множеств. Первое множество оставим без изменения. Затем применим ко второму, а так же ко всем полученным результатам этого применения. Будем продолжать далее, каждый раз увеличивая глубину применения на единицу. В результате получим требуемое соответствие.
Предложение 2а. Два в степени омега лежит между омега и суммой различных конечных степеней омеги. Для доказательства утверждения нам достаточно доказать, что существует множество мощности равной сумме различных конечных степеней омеги, содержащее в себе множество мощности два в степени омега, которое, в свою очередь, содержит множество мощности омега. Рассмотрим множество действительных чисел в двоичной записи на отрезке от нуля до единицы. Как известно (см., например, мою статью "Попытка обхода теоремы о неравномощности множества и множества подмножеств."), оно равномощно множеству подмножеств натуральных чисел. Количество элементов в множестве подмножеств данного множества - два в степени, равной количеству элементов исходного множества (в нашем случае - омега). Второе вложение получается, если заметить, что множество чисел с нулем в периоде равномощно множеству натуральных чисел. Для построения первого вложения заметим, что $2=1+1$. Применим формулу бинома Ньютона к выражению $(1+1)^n$ - получим: $1+n!/(n-1)!+n!/(2!*(n-2)!)+...+1$. Оценим это выражение сверху: $n+n^2+...+n^n$. В свою очередь - оценка полученного выражения: сумма степеней омеги до n включительно. На бесконечности и получим требуемое вложение.

Делаю, вроде, все как учили: не можешь подсчитать - разложи в ряд; все равно не можешь - возьми ограничение... Кто нибудь может мне сказать - что здесь не так?
04.08.2022 12:31
.
Известны следующие верные утверждения:

$A$: Множество конечных подмножеств натуральных чисел счетно. Множество конечных последовательностей натуральных чисел счетно.

$B$: Множество бесконечных подмножеств натуральных чисел несчетно. Множество бесконечных последовательностей натуральных чисел несчетно.

Вы постоянно пытаетесь вместо одного утверждения подсунуть другое.

Цитата
guestfromspace
Предложение 1а. Множество мощности омега равномощно множеству, являющемуся объединением множеств, мощности которых являются конечными степенями омеги.

Это $A$. Это доказывать не надо.

Цитата
guestfromspace
Рассмотрим множество действительных чисел в двоичной записи на отрезке от нуля до единицы. Как известно ... , оно равномощно множеству подмножеств натуральных чисел.

Это $B$. Это множество несчетно.

Цитата
guestfromspace
Для построения первого вложения заметим, что $2=1+1$. Применим формулу бинома Ньютона к выражению $(1+1)^n$ - получим: $1+n!/(n-1)!+n!/(2!*(n-2)!)+...+1$. Оценим это выражение сверху: $n+n^2+...+n^n$. В свою очередь - оценка полученного выражения: сумма степеней омеги до n включительно.

К чему тут это - непонятно.

Цитата
guestfromspace
На бесконечности и получим требуемое вложение.

Не получим. Нельзя так просто сказать: "на бесконечности по аналогии". При переходе от конечных подмножеств или последовательностей к бесконечным, мы получим вместо счетного множества несчетное.
06.08.2022 09:06
Равномощность множеств натуральных и действительных чисел
Цитата
r-aax
Не получим. Нельзя так просто сказать: "на бесконечности по аналогии". При переходе от конечных подмножеств или последовательностей к бесконечным, мы получим вместо счетного множества несчетное.
Ваши возражения понятны: я почти не сомневался, что ответ будет таким - хотел убедиться
Цитата
r-aax
К чему тут это - непонятно.
Это я мощность определяю.
Цитата
r-aax
Это множество несчетно.
Здесь, наверно, будет уместно рассказать - как все началось. Читая на обеде книжку какого-то зарубежного автора (какого - сказать не могу - файл остался в компьютере на прошлой работе), я наткнулся на утверждение, что существование разбиения счетного множества на счетное семейство счетных подмножеств доказать без аксиомы выбора нельзя. Когда я нашел такой алгоритм - я попытался его применить - что сразу привело к противоречию. Я программист - и мыслю категориями алгоритмов. С алгоритмической точки зрения - если множество несчетно, то существуют элементы, которые мы не сможем достич при перечислении. Существование указанного алгоритма ведет к выводу, что мы сможем достич некоторые из них, соответствующим образом переупорядочив начальный сегмент. Но, может быть, это, вообще, - не противоречие?
10.08.2022 15:06
назовите причину
Множество состоит из отдельных элементов. Кто может назвать причину по которой я не могу досчитать до любого элемента в несчётных множествах?
10.08.2022 15:24
-1/12
Цитата
borisgrinevich
Множество состоит из отдельных элементов. Кто может назвать причину по которой я не могу досчитать до любого элемента в несчётных множествах?

В модулярной арифметике все mod(n) состоят из порядка отдельных элементов идеала .

Только как это полезно вашей теме не понял.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти