Равносильны ли два утверждения?

Автор темы xenia1996 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!07.10.2023 13:49
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2023/202428.11.2022 13:56
28.07.2022 17:07
Равносильны ли два утверждения?
Дано натуральное число $k.$

Являются ли два следующих утверждения равносильными?

1) $k$ является суммой квадратов двух различных натуральных чисел.

2) Уравнение $k^k=m^2+n^2$ имеет хотя бы одно решение в натуральных числах $m$ и $n.$

(Под kk имеется в виду кей в степени кей, просто не отображается надстрочный текст почему-то.)

-----------------------------------------------------

И не ракета орлиная Таню берегла, и дни лежат в небе тем лесом.

Наш Вася Тараканечкин променял-таки Кацечку на Тацечку (Кацечка и Тацечка — это общеславянские ласкательные варианты имён Екатерина и Татьяна (Тетяна) соответственно).
28.07.2022 19:34
abc
Решений не может.
Но они равносильные по условию как предполагаемое, но еще нерешенное.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 28.07.2022 19:38.
29.07.2022 00:10
Вас не затруднит изложить Ваши мысли яснее?
Цитата
alexx223344
Решений не может.
Но они равносильные по условию как предполагаемое, но еще нерешенное.

Вас не затруднит изложить Ваши мысли яснее?
29.07.2022 19:27
Одно и то же
Ну как бы вопрос один и тот же но задан по разному. Хотя решений как бы нету.
29.07.2022 19:51
-1/12
k^k не является суммой квадратов единственное решение могло быть 2^2 ,касаемо 1 усл. верно .

Хотя если m n учтет 0 то и 2 усл. верно .

утверждения равносильными? --думаю по быстроте осмысления
равносильный не более.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 29.07.2022 20:07.
29.07.2022 20:32
1/12
Все так.

А 2 не может быть суммой квадратов. Слишком мало.
30.07.2022 09:57
.
Цитата
ammo77
k^k не является суммой квадратов единственное решение могло быть 2^2 ,касаемо 1 усл. верно .

Хотя если m n учтет 0 то и 2 усл. верно .

Цитата
alexx223344
Все так.

А 2 не может быть суммой квадратов. Слишком мало.

С чего вы вдруг решили, что k^k не может быть суммой квадратов?
30.07.2022 11:50
-1/12
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
k^k не является суммой квадратов единственное решение могло быть 2^2 ,касаемо 1 усл. верно .

Хотя если m n учтет 0 то и 2 усл. верно .

Цитата
alexx223344
Все так.

А 2 не может быть суммой квадратов. Слишком мало.

С чего вы вдруг решили, что k^k не может быть суммой квадратов?

Пифагоровой тройки не получим ,спутал .

25^25=a^2+b^2 имеет решение и 25 сумма квадратов ,но равносильно ли это ?
Тогда k=c^2 и (с^2)^(c^2)=k^k где c^2=a^2+b^2.или


(a^2+b^2)^(a^2+b^2)=k^k=(c^2)^(c^2) проверьте если верно.

(a^2+b^2)^(a^2+b^2)=25^25
a = ± 4, b = ± 3

Не только k=c^2 но и k=√c^2 верно вроде.


(a^2+b^2)^(a^2+b^2)=61^61

a = ± 5, b = ± 6



Редактировалось 6 раз(а). Последний 30.07.2022 13:45.
30.07.2022 17:03
1/12
Ну да, спутали разные вещи. Считали степень одной и той же.
30.07.2022 23:06
-1/12
Цитата
alexx223344
Ну да, спутали разные вещи. Считали степень одной и той же.

Степени можно представит по разному -равносильность бы понять .

1 условие гласит что если k сумма квадратов то выполняется 2 условие , и решение
конечно 1 или более ..

Наверно равносильно --обе условия не работают без друг друга.
31.07.2022 06:27
-1/12
Цитата
ammo77
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
k^k не является суммой квадратов единственное решение могло быть 2^2 ,касаемо 1 усл. верно .

Хотя если m n учтет 0 то и 2 усл. верно .

Цитата
alexx223344
Все так.

А 2 не может быть суммой квадратов. Слишком мало.

С чего вы вдруг решили, что k^k не может быть суммой квадратов?

Пифагоровой тройки не получим ,спутал .

25^25=a^2+b^2 имеет решение и 25 сумма квадратов ,но равносильно ли это ?
Тогда k=c^2 и (с^2)^(c^2)=k^k где c^2=a^2+b^2.или


(a^2+b^2)^(a^2+b^2)=k^k=(c^2)^(c^2) проверьте если верно.

(a^2+b^2)^(a^2+b^2)=25^25
a = ± 4, b = ± 3

Не только k=c^2 но и k=√c^2 верно вроде.


(a^2+b^2)^(a^2+b^2)=61^61

a = ± 5, b = ± 6

Говорилось не (a^2+b^2)^(a^2+b^2) = k^k, а

(m^2+n^2) = k^k и (a^2+b^2) = k (2 условия)

и был вопрос равнозначны ли 2 условия?

Ответ будет зависить от того есть ли решения тут - m^2+n^2 = k^k

То есть в данной задаче нет дополнительного уточняющего момента, который надо что -

1. решить самим
2. дадут для решения



Редактировалось 3 раз(а). Последний 31.07.2022 06:59.
31.07.2022 11:15
-1/12
Вместо k^k можно на k^n заменит ,там тот же принцип что мы разобрали в пиф 3 не более.
Те же числа .
k | | approximation
1 | 5/4 | 1.25
2 | 13/12 | 1.08333
3 | 25/24 | 1.04167
4 | 41/40 | 1.025
5 | 61/60 | 1.01667
6 | 85/84 | 1.0119
7 | 113/112 | 1.00893
8 | 145/144 | 1.00694
9 | 181/180 | 1.00556
10 | 221/220 | 1.00455
11 | 265/264 | 1.00379
12 | 313/312 | 1.00321
13 | 365/364 | 1.00275
14 | 421/420 | 1.00238
15 | 481/480 | 1.00208

В отличие от того что к примеру, 5*k всегда пифагорова тройка (5*k)^(5*k) не является
решением для k^k=a^2+b^2

15^15 нет решения 65^65 нет решения в отличие от 5-13-25--41-61--.... но даже здесь
85^85 нет решения .



Редактировалось 2 раз(а). Последний 31.07.2022 13:44.
31.07.2022 13:43
k^k=a^2+b^2
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
k^k не является суммой квадратов единственное решение могло быть 2^2 ,касаемо 1 усл. верно .

Хотя если m n учтет 0 то и 2 усл. верно .

Цитата
alexx223344
Все так.

А 2 не может быть суммой квадратов. Слишком мало.

С чего вы вдруг решили, что k^k не может быть суммой квадратов?

Согласен, тогда дайте контрпример где k^k=a^2+b^2
31.07.2022 18:48
.
Цитата
alexx223344
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
k^k не является суммой квадратов единственное решение могло быть 2^2 ,касаемо 1 усл. верно .

Хотя если m n учтет 0 то и 2 усл. верно .

Цитата
alexx223344
Все так.

А 2 не может быть суммой квадратов. Слишком мало.

С чего вы вдруг решили, что k^k не может быть суммой квадратов?

Согласен, тогда дайте контрпример где k^k=a^2+b^2

Когда утверждаете, что что-то не имеет решения, то неплохо бы это доказывать.

А контрпример-то найти - не проблема
5^5 = 55^2 + 10^2, например
02.08.2022 18:09
.
Утверждения не являются равносильными.

Верно только в одну сторону, из первого утверждения следует второе

Допустим $k$ является суммой квадратов различных натуральных чисел: $k = n^2 + m^2$ (пусть $n > m$).

Тогда при нечетном $k = 2t + 1$ получим
$k^k = k \cdot k^{2t} = k (k^t)^2 = (n^2 + m^2) (k^t)^2 = (nk^t)^2 + (mk^t)^2$.

При четном $k = 2t$ понадобится дополнительное действие, использующее условие $n \ne m$
$k^2 = (n^2 + m^2)^2 = (n^2 - m^2)^2 + (2nm)^2$,
после чего $k^{2t - 2}$ докидываем аналогично нечетному случаю.

В обратную сторону неверно, можно собрать контрпример.
02.08.2022 19:44
-1/12
Мне без m n более понравилось
(a^2+b^2)^(a^2+b^2)=k^k=(c^2)^(c^2)
02.08.2022 22:26
1/12
Лучше конечно без m и n решать, тогда хотябы все тройки можно обойти.
Это так же как наш генератор Пиф- 3 сработал, там без m и n. Они только мутят бесконечную закономерность.
03.08.2022 08:47
.
Цитата
ammo77
Мне без m n более понравилось
(a^2+b^2)^(a^2+b^2)=k^k=(c^2)^(c^2)
Только к задаче это отношения не имеет)
С чего вдруг k стал квадратом?
03.08.2022 08:54
.
Цитата
alexx223344
Лучше конечно без m и n решать, тогда хотябы все тройки можно обойти.
Это так же как наш генератор Пиф- 3 сработал, там без m и n. Они только мутят бесконечную закономерность.
Ok, если эту задачу лучше решать каким-то генератором, то давайте.
В одну сторону доказательство я привёл, это совсем просто (из первого утверждения следует второе для любого k) .
Приведите контрпример с помощью Вашего генератора, что в обратну сторону не выполняется (то есть пример числа k, когда из второго утверждения не следует первое).
Посмотрим на силу генератора))
03.08.2022 10:28
-1/12
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
Мне без m n более понравилось
(a^2+b^2)^(a^2+b^2)=k^k=(c^2)^(c^2)
Только к задаче это отношения не имеет)
С чего вдруг k стал квадратом?

k является квадратом и суммой квадратов одновременно ,:тогда
k^k является суммой квадратов ,пример число 25.

k является только суммой квадратов ,тогда k^k также имеет возможность получит
сумму квадратов ,пример число 13-41-61.
т.е получается опят последовательность для пиф-3 или первообраз пиф-3 с разницей C-B=1. 5/4 и т.д внизу .

k | | approximation
1 | 5/4 | 1.25
2 | 13/12 | 1.08333
3 | 25/24 | 1.04167
4 | 41/40 | 1.025
5 | 61/60 | 1.01667
6 | 85/84 | 1.0119
7 | 113/112 | 1.00893
8 | 145/144 | 1.00694
9 | 181/180 | 1.00556
10 | 221/220 | 1.00455
11 | 265/264 | 1.00379
12 | 313/312 | 1.00321
13 | 365/364 | 1.00275
14 | 421/420 | 1.00238
15 | 481/480 | 1.00208

Выходит у нас закономерность для k^k где оба условия равносильный .

Возможно что спутал проверьте .

https://postimg.cc/nsz9mdNW
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти