Равносильны ли два утверждения?

Автор темы xenia1996 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!07.10.2023 13:49
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2023/202428.11.2022 13:56
03.08.2022 10:45
.
Цитата
ammo77
k является квадратом и суммой квадратов одновременно ,:тогда
k^k является суммой квадратов ,пример число 25.

...

Выходит у нас закономерность для k^k где оба условия равносильный .

Возможно что спутал проверьте .

Вы неверно понимаете условие задачи и вместо поставленной задачи делаете что-то свое.

Условие очень простое.
Есть два утверждения:
1. k представимо в виде суммы квадратов двух различных натуральных чисел.
2. k^k представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Верно ли, что эти два утверждения равносильны? То есть из первого утверждения следует второе, а из второго утверждения следует первое.
Доказательство того, что для любого k из первого утверждения следует второе, я привел, это просто.
А вот, обратное неверно, существует такое k, что из второго утверждения не следует первое, контрпример я пока не приводил, но он существует.
03.08.2022 11:05
-1/12
Покажите контр пример и посмотрим откуда он исходит.
03.08.2022 17:12
-1/12
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
k является квадратом и суммой квадратов одновременно ,:тогда
k^k является суммой квадратов ,пример число 25.

...

Выходит у нас закономерность для k^k где оба условия равносильный .

Возможно что спутал проверьте .

Вы неверно понимаете условие задачи и вместо поставленной задачи делаете что-то свое.

Условие очень простое.
Есть два утверждения:
1. k представимо в виде суммы квадратов двух различных натуральных чисел.
2. k^k представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Верно ли, что эти два утверждения равносильны? То есть из первого утверждения следует второе, а из второго утверждения следует первое.
Доказательство того, что для любого k из первого утверждения следует второе, я привел, это просто.
А вот, обратное неверно, существует такое k, что из второго утверждения не следует первое, контрпример я пока не приводил, но он существует.


Условие
2) Уравнение k^k=m^2+n^2 имеет хотя бы одно решение в натуральных числах m и n.

Здесь главное доказать что имеет хот одно решение ,
и на самом деле имеет всегда одно решение минимум и очень интересное .
Кстати оба условия равносильный,без второго условия не выполнит первое как и обратно .

Ответ простой -я даже не знал такую зависимость -ответ покажу позже пусть немного подумают над задачей .
Это вы сами составили или ?
03.08.2022 17:45
.
Цитата
ammo77
Условие
2) Уравнение k^k=m^2+n^2 имеет хотя бы одно решение в натуральных числах m и n.

Здесь главное доказать что имеет хот одно решение ,
и на самом деле имеет всегда одно решение минимум и очень интересное .

Это неверно. Данное уравнение, очевидно, не всегда имеет решение.
Например, для k = 3 получаем уравнение 3^3 = n^2 + m^2, которое не имеет решений в натуральных числах.

Цитата
ammo77
Кстати оба условия равносильный,без второго условия не выполнит первое как и обратно .

Это тоже неверно. Я же писал, что из второго условия не следует первое.
03.08.2022 18:07
.
Ну и контрпример, когда из второго утверждения не следует первое:

$k = 70$

$70^{70} = (2^{35} \cdot 3 \cdot 5^{34} \cdot 7^{35})^2 + (2^{37} \cdot 5^{34} \cdot 7^{35})^2$

однако $70$ в виде суммы двух квадратов не представимо
03.08.2022 18:55
-1/12
Цитата
r-aax
Ну и контрпример, когда из второго утверждения не следует первое:

$k = 70$

$70^{70} = (2^{35} \cdot 3 \cdot 5^{34} \cdot 7^{35})^2 + (2^{37} \cdot 5^{34} \cdot 7^{35})^2$

однако $70$ в виде суммы двух квадратов не представимо

K=70 не имеет решения при k^k=n^2+m^2

Вы что то не правильно просчитали.
03.08.2022 19:07
.
Цитата
ammo77
K=70 не имеет решения при k^k=n^2+m^2

Вы что то не правильно просчитали.

Еще раз.
70^70 = (2^35 * 3 * 5^34 * 7^35)^2 + (2^37 * 5^34 * 7*35)^2
то есть 70^70 представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а 70 не представимо (то есть из второго утверждения не следует первое)

P.S. Можно проверить в питоне, он справляется с большими числами:

Python 3.8.2 (default, Feb 26 2020, 02:56:10)
> k = 70
> n = (2**35) * 3 * (5**34) * (7**35)
> m = (2**37) * (5**34) * (7**35)
> k**k - n**2 - m**2
0
> k**k
1435036016098684342856030763566710717400773837392460666392490000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
> n**2 + m**2
1435036016098684342856030763566710717400773837392460666392490000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
03.08.2022 19:25
Генератор
Цитата
r-aax
Цитата
alexx223344
Лучше конечно без m и n решать, тогда хотябы все тройки можно обойти.
Это так же как наш генератор Пиф- 3 сработал, там без m и n. Они только мутят бесконечную закономерность.
Ok, если эту задачу лучше решать каким-то генератором, то давайте.
В одну сторону доказательство я привёл, это совсем просто (из первого утверждения следует второе для любого k) .
Приведите контрпример с помощью Вашего генератора, что в обратну сторону не выполняется (то есть пример числа k, когда из второго утверждения не следует первое).
Посмотрим на силу генератора))

Нет, сила генератора не в этом совсем. Генератор нужен для того чтобы

1. Не пропустить не одной тройки.
2. Сделать значение функции соответствующей значению аргумента где аргумент натуральный ряд.
То есть подставив 1,2,3.... получить красивый ряд троек и всех.

Все остальное это чисто перебирание каких-то комбинаций без закономерностей.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 03.08.2022 19:31.
03.08.2022 19:39
-1/12
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
K=70 не имеет решения при k^k=n^2+m^2

Вы что то не правильно просчитали.

Еще раз.
70^70 = (2^35 * 3 * 5^34 * 7^35)^2 + (2^37 * 5^34 * 7*35)^2
то есть 70^70 представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а 70 не представимо (то есть из второго утверждения не следует первое)

P.S. Можно проверить в питоне, он справляется с большими числами:

Python 3.8.2 (default, Feb 26 2020, 02:56:10)
> k = 70
> n = (2**35) * 3 * (5**34) * (7**35)
> m = (2**37) * (5**34) * (7**35)
> k**k - n**2 - m**2
0
> k**k
1435036016098684342856030763566710717400773837392460666392490000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
> n**2 + m**2
1435036016098684342856030763566710717400773837392460666392490000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000


Питон не правильно вычислил

a = ± 37881869226566478168271762594300000000000000000000000000000000000,
b = 0

Пока еще раз проверьте потом покажу как все работает .
Это можно было и по модулю проверит 70^70=7mod9 а правая часть 4mod9.

Еще мне интересно кто составил эти условия ?



Редактировалось 2 раз(а). Последний 03.08.2022 19:48.
03.08.2022 19:54
.
Цитата
ammo77
Питон не правильно вычислил

a = ± 37881869226566478168271762594300000000000000000000000000000000000,
b = 0

Пока еще раз проверьте потом покажу как все работает .
Это можно было и по модулю проверит 70^70=7mod9 а правая часть 4mod9.

Питон неверно вычислил, правда?
А Erlang устроит?

Eshell V9.0 (abort with ^G)
1> P = fun _P(X, 1) -> X; _P(X, N) -> X * _P(X, N - 1) end.
#Fun<erl_eval.36.99386804>
2> K = 70.
70
3> KK = P(K, K).
1435036016098684342856030763566710717400773837392460666392490000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
4> N = P(2, 35) * 3 * P(5, 34) * P(7, 35).
22729121535939886900963057556580000000000000000000000000000000000
5> M = P(2, 37) * P(5, 34) * P(7, 35).
30305495381253182534617410075440000000000000000000000000000000000
6> N*N + M*M.
1435036016098684342856030763566710717400773837392460666392490000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
7> KK - N*N - M*M.
0

Ответ тот же - все верно.
И остаток от деления на 9, что у левой части, что у правой равен 7.
03.08.2022 20:04
.
Цитата
alexx223344
Нет, сила генератора не в этом совсем. Генератор нужен для того чтобы

1. Не пропустить не одной тройки.
2. Сделать значение функции соответствующей значению аргумента где аргумент натуральный ряд.
То есть подставив 1,2,3.... получить красивый ряд троек и всех.

Все остальное это чисто перебирание каких-то комбинаций без закономерностей.

Понятно, про генератор Вы просто так написали, так как пифагоровы тройки в этой задаче особо не нужны.

P.S. Обычные формулы Евклида прекрасно не пропускают ни одной тройки, и генерят красивые ряды троек )))
03.08.2022 20:05
-1/12
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
Питон не правильно вычислил

a = ± 37881869226566478168271762594300000000000000000000000000000000000,
b = 0

Пока еще раз проверьте потом покажу как все работает .
Это можно было и по модулю проверит 70^70=7mod9 а правая часть 4mod9.

Питон неверно вычислил, правда?
А Erlang устроит?

Eshell V9.0 (abort with ^G)
1> P = fun _P(X, 1) -> X; _P(X, N) -> X * _P(X, N - 1) end.
#Fun<erl_eval.36.99386804>
2> K = 70.
70
3> KK = P(K, K).
1435036016098684342856030763566710717400773837392460666392490000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
4> N = P(2, 35) * 3 * P(5, 34) * P(7, 35).
22729121535939886900963057556580000000000000000000000000000000000
5> M = P(2, 37) * P(5, 34) * P(7, 35).
30305495381253182534617410075440000000000000000000000000000000000
6> N*N + M*M.
1435036016098684342856030763566710717400773837392460666392490000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
7> KK - N*N - M*M.
0

Ответ тот же - все верно.
И остаток от деления на 9, что у левой части, что у правой равен 7.


В правой части остаток 4 и число другое в левой и правой

70^70=
1435 036016 098684 342856 030763 566710 717400 773837 392460 666392 490000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 (130 digits) = 2^70 × 5^70 × 7^70

(2^35*3*5^34*7^35)^2 + (2^37*5^34*7*35)^2=
516 612965 795526 363428 171074 884015 858264 278581 461285 840285 456400 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 (129 digits) = 270 × 568 × 74 × 233 × 577 × 92489 × 43260 479848 894918 587646 049283 783075 733899 427609 (47 digits)

в левой там 270 замените 2^70 --568 на 5^68 и 7^4

Так что программы тоже содержат ошибки ---но там такая мощная закономерность что контр пример никогда не получите.

Так что равносильность правильный ответ.



Редактировалось 3 раз(а). Последний 03.08.2022 20:14.
03.08.2022 20:22
.
Цитата
ammo77
(2^35*3*5^34*7^35)^2 + (2^37*5^34*7*35)^2=
516 612965 795526 363428 171074 884015 858264 278581 461285 840285 456400 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 (129 digits)

У Вас ошибка. Чем Вы считаете? Посчитайте отдельно первое и второе слагаемое. У Вас итоговый результат подозрительно напоминает первое слагаемое, но не до конца...

1> P = fun _P(X, 1) -> X; _P(X, N) -> X * _P(X, N - 1) end.
#Fun<erl_eval.36.99386804>
2> N = P(2, 35) * 3 * P(5, 34) * P(7, 35).
22729121535939886900963057556580000000000000000000000000000000000
3> M = P(2, 37) * P(5, 34) * P(7, 35).
30305495381253182534617410075440000000000000000000000000000000000
4> N*N.
516612965795526363428171074884015858264278581461285839901296400000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
5> M*M.
918423050303157979427859688682694859136495255931174826491193600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
6> N*N + M*M.
1435036016098684342856030763566710717400773837392460666392490000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
03.08.2022 20:38
-1/12
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
(2^35*3*5^34*7^35)^2 + (2^37*5^34*7*35)^2 у вас 7*35 должно бит 7^35
03.08.2022 20:43
.
Цитата
ammo77
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
(2^35*3*5^34*7^35)^2 + (2^37*5^34*7*35)^2 у вас 7*35 должно бит 7^35

Все правильно.
Должно быть 7 в степени 35.
У вас опечатка во второй скобке.
03.08.2022 20:45
1/12
Цитата
r-aax
Цитата
alexx223344
Нет, сила генератора не в этом совсем. Генератор нужен для того чтобы

1. Не пропустить не одной тройки.
2. Сделать значение функции соответствующей значению аргумента где аргумент натуральный ряд.
То есть подставив 1,2,3.... получить красивый ряд троек и всех.

Все остальное это чисто перебирание каких-то комбинаций без закономерностей.

Понятно, про генератор Вы просто так написали, так как пифагоровы тройки в этой задаче особо не нужны.

P.S. Обычные формулы Евклида прекрасно не пропускают ни одной тройки, и генерят красивые ряды троек )))


Какие же, давайте подставим числа да увидим.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 03.08.2022 20:57.
03.08.2022 20:47
.
70^70 = (2^35 * 3 * 5^34 * 7^35)^2 + (2^37 * 5^34 * 7^35)^2
то есть 70^70 представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а 70 не представимо (то есть из второго утверждения не следует первое)

P.S. Можно проверить в питоне, он справляется с большими числами:

Python 3.8.2 (default, Feb 26 2020, 02:56:10)
> k = 70
> n = (2**35) * 3 * (5**34) * (7**35)
> m = (2**37) * (5**34) * (7**35)
> k**k - n**2 - m**2
0
> k**k
1435036016098684342856030763566710717400773837392460666392490000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
> n**2 + m**2
1435036016098684342856030763566710717400773837392460666392490000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
03.08.2022 20:49
1/12
Да тема зашла.
Оба условия независимые.
И у первого и у второго есть решения, но принцип разный.
А также по условию нет ни слова о том что k из первого утверждения равно k из второго, это учли?
03.08.2022 20:57
.
Цитата
alexx223344
Оба условия независимые.

Из первого условия следует второе, это значит, что условия не независимы.
03.08.2022 20:58
.
Цитата
alexx223344
А также по условию нет ни слова о том что k из первого утверждения равно k из второго, это учли?

Ошибаетесь. В первом же предложении условия задачи это сказано.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти