Задачка про выборку из n чисел, полученных из распределения на отрезке

Автор темы neurosurg (Dr.Neurosurgus) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеРазделу «Задачки и головоломки» исполнилось два года21.08.2021 01:51
ОбъявлениеPostdoc: Stochastics and algorithmics behind network problems (Netherlands)08.10.2021 08:36
27.05.2003 12:22
Задачка про выборку из n чисел, полученных из распределения на отрезке
Всем привет,

есть "простая" задача:

Дано:
имеется выборка из n чисел, полученных из равномерного распределения на отрезке [a,b].

Вопрос:
какова вероятность найти в вариационном ряду этой выборки два соседних члена, отстоящих более чем на наперед заданное t?

Спасибо, за решения/ссылки.
27.05.2003 12:31
Имитировать подпись - запрещено!
Имитировать подпись - запрещено! Используйте поле подпись в вашем профайле.
27.05.2003 12:41
я и не подозревал, что подделал свою же собственную подпись...
Цитата

Administrator писал(а) :
Имитировать подпись - запрещено! Используйте поле подпись в вашем профайле.

мама моя... я и не знал, что это имитация, то есть я и не подозревал, что подделал свою же собственную подпись...

ща подпишемся по-настоящему, по-взрослому.

извините, давно правила форума не перечитывал.
27.05.2003 18:00
Сергей
уточнение
Что значит "вариационный ряд"?
28.05.2003 02:52
ответ
http://www.rea.ru/misc/enc3p.nsf/ByID/NT00014706



http://dooblet.com -- поиск альтернатив. ищутся альтернативы к чему угодно: к программам, к музисполнителям, к философским понятиям, к моделям машин, телефонов -- к чему-угодно.
28.05.2003 10:38
Задача действительно простая
Ответ: $1 - \left (\frac{t}{b-a}\right )^n$.

30.05.2003 17:48
так ли?
как говорит мною зело уважаемый Булинский: "ничуть не бывало".

Действительно:
a=0
b=1
t=.5
n=30

получаем:

$1 - \left (\frac{t}{b-a}\right )^n$ приближенно равно 1.

то есть:

если имеется выборка из 30 чисел, полученных из равномерного распределения на отрезке [0,1], то вероятность найти в вариационном ряду этой выборки два соседних члена, отстоящих более чем .5 приблизительно равняется 1.

или?



http://dooblet.com -- поиск альтернатив. ищутся альтернативы к чему угодно: к программам, к музисполнителям, к философским понятиям, к моделям машин, телефонов -- к чему-угодно.
31.05.2003 12:44
Не так.. Но не сильно сложнее.
Для вашего примера "точное чиселко" .0000000279.

Решение: $ x_1 \dots x_n \sim U[0,1]$
$P( \max\limits_{1 \le i \le n-1}(x_{(i+1)}-x_{(i)}) \ge t) =
1 - P( \max\limits_{1 \le i \le n-1}(x_{(i+1)}-x_{(i)}) \le t) =
1 - n!P(x_1 \le x_2 \le \dots \le x_n, \max\limits_{1 \le i \le n-1}(x_{i+1}-x_{i}) \le t) =
1 - n!P(x_{i+1}-x_{i} \le t \; \forall i \in \{1, \dots, n-1\}, x_1 \le x_2 \le \dots \le x_n) =
%1 - t^n % BUG
1 - n!P^{*}$

$ G(x) = x\Theta(x), \int G^n(x) dx = \frac{G^{n+1}(x)}{n+1}, G(G(x-a)-b) = G(x-a-b)$

$ P^{*} =
\int\limits_0^1 dx_n \int\limits^{G(x_n)}_{G(x_n-t)} dx_{n-1} \dots \int\limits^{G(x_2)}_{G(x_2-t)} dx_1 =
\int\limits_0^1 dx_n \int\limits^{G(x_n)}_{G(x_n-t)} dx_{n-1} \dots \int\limits^{G(x_3)}_{G(x_3-t)} (dx_2)*
(G(x_2) - G(x_2-t)) =
\int\limits_0^1 dx_n \int\limits^{G(x_n)}_{G(x_n-t)} dx_{n-1} \dots \int\limits^{G(x_4)}_{G(x_4-t)} dx_3
\frac{G^2(x_3) - 2G^2(x_3-t) + G^2(x_3-2t)}{2} = \dots =
\left. \sum\limits_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{n!} {n \choose k} G^{n}(x_n-kt) \right|_0^1 =
\sum\limits_{k=0}^{[\frac{1}{t}]} \frac{(-1)^k}{n!} {n \choose k} (1-kt)^{n}$.

Итого: $\sum\limits_{k=1}^{[\frac{1}{t}]} (-1)^{k+1} {n \choose k} (1-kt)^{n}$.

Желающие могут заняться раскрытием скобок.

Кстати, эта задача с зачета у Булинского? Или откуда?

08.06.2003 23:03
а задача из жизни
Цитата

Memphice писал(а) :
Для вашего примера "точное чиселко" .0000000279.

Решение:
...
спасибо за ваши/твои ответы.
смотрю, приходится ТеХ вспоминать, чтоб прочесть :-/

Цитата

Кстати, эта задача с зачета у Булинского? Или откуда?
нет :)
я Булинского много лет уже как не видел, а задача из жизни:

нужно построить робастный кртерий для ответа на вопрос, представляет ли данная выборка мономодальное непрерывное распределение или нет
(распределения типа равномерного и логнормального тоже будем считать одномодальными)



http://dooblet.com -- поиск альтернатив. ищутся альтернативы к чему угодно: к программам, к музисполнителям, к философским понятиям, к моделям машин, телефонов -- к чему-угодно.
09.06.2003 09:31
Надо же! И в жизни бывают забавные задачки.
Цитата

спасибо за ваши/твои ответы.

Пожалуйста.

Цитата

смотрю, приходится ТеХ вспоминать, чтоб прочесть :-/

Не обязательно. Можно просто добавить стандартные

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\begin{document}
%insert body here
\end{document}

и откомпилировать.


Цитата

нужно построить робастный кртерий для ответа на вопрос, представляет ли данная выборка мономодальное непрерывное распределение или нет
(распределения типа равномерного и логнормального тоже будем считать одномодальными)

А что такое мономодальное непрерывное распределение?

09.06.2003 11:42
мономодальное и непрерывное
непрерывное:
http://www.math.uah.edu/statold/dist/dist2.html
там же есть и определение моды:
"An element x in S that maximizes the density f is called a mode of the distribution. If there is only one mode, it is sometimes used as a measure of the center of the distribution."

примеры (мономодальное,бимодальное, мультимодальное):
http://www.statsoftinc.com/textbook/glosm.html#Multimodal%20Distribution



http://dooblet.com -- поиск альтернатив. ищутся альтернативы к чему угодно: к программам, к музисполнителям, к философским понятиям, к моделям машин, телефонов -- к чему-угодно.
10.06.2003 14:28
Теперь я знаю немного больше.
10.06.2003 15:39
кста, а вы кто? :)
кста, а вы кто? :)

талантливый студент, аспирант/преподаватель/другое?



http://dooblet.com -- поиск альтернатив. ищутся альтернативы к чему угодно: к программам, к музисполнителям, к философским понятиям, к моделям машин, телефонов -- к чему-угодно.
10.06.2003 15:48
Просьба не оффтопить!
Форум Математика - тематический форум, и в нем рекомендуется вести себя более аккуратно. Просьба не оффтопить! Используйте электронную почту, если вам действительно нужно что-то узнать о собеседнике. Рекоммендация: Memphice и Dr.Neurosurgus.
11.06.2003 21:39
на моем ТеХе не идёть :-(
Цитата

Memphice писал(а) :
Не обязательно. Можно просто добавить стандартные

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\begin{document}
%insert body here
\end{document}

на моем ТеХе не идёть :-(

вот, спрошу-ка у народа:
http://www.mmonline.ru/phorum/read.php?f=7&i=14113&t=14113



http://dooblet.com -- поиск альтернатив. ищутся альтернативы к чему угодно: к программам, к музисполнителям, к философским понятиям, к моделям машин, телефонов -- к чему-угодно.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти