Доказать делимость на 9

Назовём последовательность натуральных чисел тетянистой (от имени Тетяна), если каждый её элемент, начиная со второго, равен наименьшему натуральному числу, превышающему предыдущий элемент и кратному сумме цифр предыдущего элемента.

Например, если мы возьмём в качестве первого элемента такой последовательности число 5, получим:

5, 10, 11, 12, 15, 18, 27, 36, ...

Докажите, что какое бы число мы ни выбрали в качестве первого элемента, все элементы тетянистой последовательности, начиная с некоторого, будут кратны 9.

-----------------------------------------------------

И не ракета орлиная Таню берегла, и дни лежат в небе тем лесом.

Наш Вася Тараканечкин променял-таки Кацечку на Тацечку (Кацечка и Тацечка — это общеславянские ласкательные варианты имён Екатерина и Татьяна (Тетяна) соответственно).