Расставить пределы интегрирования: Е={ x>=0 , z>=0 , x^2 + y^2 <= a^2 ...

Автор темы Galya 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
Форумы Список тем Новая тема
27.12.2007 09:02
Galya
Расставить пределы интегрирования: Е={ x>=0 , z>=0 , x^2 + y^2 <= a^2 ...
Интегрируем по множетсву
Е={ x>=0 , z>=0 , x^2 + y^2 <= a^2 , y^2 + z^2 <= a^2 }

тройной интеграл dxdydz

ВАЖНО: самый внешний должен быть по dx, самый внутренний - по dy.

Ответить Цитировать
06.01.2008 14:54
Galya
Неужели никто не может помочь или подсказать?
Люди! Неужели никто не может помочь или подсказать? Понятно, что самый внешний интеграл от 0 до a (dx), далее рассматриваем пересечние 2-х цилиндров, но как найти аналитически как это выглядит?
Ответить Цитировать
07.01.2008 06:35
egor
Ещё немного, ещё чуть-чуть
Пределы изменения x нашли.
При каждом фиксированном x для переменных y и z получается система
z>=0,
y^2 <= a^2 - x^2,
y^2 + z^2 <= a^2.
Нужно найти пределы изменения z.
Переменная z присутствует в неравенствах z >= 0 и y^2+z^2 <= a^2. Отсюда видно, что z изменяется от 0 до a. (При любом таком z можно взять y=0, и все неравенства будут выполняться.)

Для y получаем систему
y^2 <= a^2-x^2,
y^2 <= a^2-z^2.
Отсюда легко записать пределы изменения y, используя функцию "min".
Так получим краткую запись ответа.

После этого нужно разбить интеграл по z на два интеграла, чтобы избавиться от функции "min". Более подробно: сообразить, при каких z будет a^2-x^2<a^2-z^2, а при каких будет наоборот.

Ответить Цитировать
07.01.2008 17:26
Galya
Э-э-э.. Ну про z вроде сообразила...
После этого нужно разбить интеграл по z на два интеграла, чтобы избавиться от функции "min". Более подробно: сообразить, при каких z будет a^2-x^2<a^2-z^2, а при каких будет наоборот.

a^2-x^2<a^2-z^2

a^2 - x^2 - a^2 +z^2 < 0
(z-x)(z+x)<0
Получаем что при z > x a^2-x^2>a^2-z^2
И при 0<= z < x a^2-x^2<a^2-z^2

Теперь про мин и пределы изменения по y... Я тут подтормаживаю:(

-sqrt (a^2-x^2) < y < sqrt(a^2-x^2)
-sqrt (a^2-z^2) < y < sqrt(a^2-z^2)

минимальный из корней с минусом - нижний предел? Я не поняла с этой min.
Ответить Цитировать
07.01.2008 17:57
egor
abs нам поможет
Для y получаем систему:
|y| <= sqrt(a^2-x^2),
|y| <= sqrt(a^2-z^2).
Если 0<z<x, то система равносильна одному из этих неравеств, если x<z<a, то другому. Потом можно вместо неравенств с модулями записать двойные неравенства, как у Вас.

Ответить Цитировать
08.01.2008 23:37
Galya
Мы его и так, и сяк, и вот что вышло...
В общем, получила я сумму из 4-х повторных интегралов.
(кусок верхнего цилиндра (вдоль OZ) - S1, кусок "бокового" (второго) цилиндра (вдоль OX) -S2 и две "шапочки" - два симметричных кусочка из той части, где цилиндры пересекаются(S12 и S21)).

S1=(от а до бесконечности) dx (от 0 до а) dz (от -sqrt(a^2-x^2) до +sqrt(a^2-x^2)) dy.

S2=(от 0 до a) dx (от а до бесконечности) dz (от -sqrt(a^2-z^2) до +sqrt(a^2-z^2)) dy.

S12=(от 0 до a) dx (от 0 до x) dz (от -sqrt(a^2-x^2) до +sqrt(a^2-x^2)) dy.

S21=(от 0 до a) dx (от 0 до x) dz (от -sqrt(a^2-z^2) до +sqrt(a^2-z^2)) dy.

Ответить Цитировать
09.01.2008 10:12
egor
Печальная картина
Цитата

Galya писала:
S1=(от а до бесконечности) dx (от 0 до а) dz (от -sqrt(a^2-x^2) до +sqrt(a^2-x^2)) dy.

S2=(от 0 до a) dx (от а до бесконечности) dz (от -sqrt(a^2-z^2) до +sqrt(a^2-z^2)) dy.

S12=(от 0 до a) dx (от 0 до x) dz (от -sqrt(a^2-x^2) до +sqrt(a^2-x^2)) dy.

S21=(от 0 до a) dx (от 0 до x) dz (от -sqrt(a^2-z^2) до +sqrt(a^2-z^2)) dy.
Откуда взялись промежутки от a до +infty? Любопытно, какие же значения при этом будут принимать корни sqrt(a^2-x^2) и sqrt(a^2-z^2)?
В S12 и S21 написаны одинаковые пределы для x и z. Надеюсь, что это опечатка.

Советую чётко написать область интегрирования с помощью системы из трёх неравенств: условие на x, условие на z, условие на y. Условие на y зависит от x и z и проще всего записывается с помощью модуля и минимума. Затем разбить промежуток изменения z на два промежутка, чтобы раскрыть минимум.

Ответить Цитировать
09.01.2008 20:49
Galya
Глюк..:)
сумма двух повторных интегралов...
c1=(от 0 до а) dx (от 0 до x) dz (от -sqrt(a^2-z^2) до +sqrt(a^2-z^2)) dy.
c2=(от 0 до а) dx (от x до а) dz (от -sqrt(a^2-x^2) до +sqrt(a^2-x^2)) dy.
Ответить Цитировать
11.01.2008 20:03
Galya
Ой, выше z и x местами поменялись...
Ой, выше z и x местами поменялись... Огромное спасибо!

c1=(от 0 до а) dx (от 0 до x) dz (от -sqrt(a^2-x^2) до +sqrt(a^2-x^2)) dy.
c2=(от 0 до а) dx (от x до а) dz (от -sqrt(a^2-z^2) до +sqrt(a^2-z^2)) dy.

Сдано, получен +.
Ответить Цитировать
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти