Форум мехмата МГУ по высшей математике
| Пользователям: | Аксиома — это истина, на которую не хватило доказательств. |
Форумы > Математика > Высшая математика > Тема |
Объявления | Последний пост | |
---|---|---|
Правила и принципы форума «Высшая математика» | 28.10.2009 15:17 | |
Запущен новый раздел «Задачки и головоломки» | 29.08.2019 00:42 | |
Открыта свободная публикация вакансий для математиков | 26.09.2019 16:34 |
16.02.2023 17:22 Дата регистрации: 1 год назад Посты: 94 | Гипотеза Коллатца Гипотеза Коллатца Это одна из нерешенных проблем математики. Получила широкую известность благодаря простоте формулировки: - Берём любое натуральное число n. Если оно чётное, разделим его на 2, а если нечетное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n+1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее. Какое бы начальное число n мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу, - так гласит гипотеза. И надо это доказать. Давайте посмотрим на последовательности в гипотезе Коллатца (3n+1): 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 5, 16, 8, 4, 2, 1 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 Таблица нечетных чисел Рисунок 1 (нажмите для просмотра) Обратим внимание, что первая строка таблицы - это ни что иное, как последовательность A002450: 1, 5, 21, 85, 341, 1365... Справочник OEIS предлагает нам следующую формулу: a(m+1) = 4*a(m) + 1. Связь таблицы с гипотезой Шаг назад в гипотезе Коллатца выглядит следующим образом, пусть n – нечетное число, тогда: - Чтобы получить предыдущее мы должны умножить n*2. - Предположим, перед 2n находится нечетное число x. Тогда справедливо равенство: $ 3x + 1 = 2n $ - Получаем $ x = \frac {2n–1} {3}$. - Результат $ \frac {2n} {3} – \frac 1 3 $ будет целым только в том случае, если n ≡ 2 mod(3). Тогда для n ≡ 1 mod(3) удвоим количество четных чисел: - Умножаем n на 2, и снова на 2. - Предположим, перед 4n находится нечетное число x. Тогда справедливо равенство: $ 3x + 1 = 4n $ - Получаем $ x = \frac {4n–1} {3}$. - Результат $ \frac {4n} {3} – \frac 1 3 $ всегда будет целый для n ≡ 1 mod(3). Таким образом мы установили зависимость одного нечетного числа от другого. Итак, в таблице: a(1) - это шаг назад, b(n) - это нечетное число, x - нечетное число для случая b(n) = 4x+1. a(m) - последовательность чисел, привязанная к b(n). Правило 1/3 (одна треть) Рассмотрим формулы $ (\frac {2n} {3} – \frac 1 3) $ и $ (\frac {4n} {3} – \frac 1 3) $ с другого ракурса. Не будем обращать внимание на $ \frac {1} {3}$, как пренебрежительно малое число, и сосредоточимся только на $ \frac {2n} {3}$ и $ \frac {4n} {3}$. Это ни что иное, как уменьшение/увеличение числа n на $ \frac {1} {3}$. Такое уменьшение/увеличение будем называть "правилом 1/3". Примечание Конечно, "правило 1/3" - это просто шаг назад в гипотезе Коллатца, и оно дано нам по условию самой задачи. Но именно такое название передает всю суть гипотезы – многократное увеличение/уменьшение числа n на 1/3, пока оно не скатится до единицы. Вопрос. Можно ли по этой таблице спуститься к 1? Да, можно. Это не просто таблица, это матрица спуска к единице. Спуск выглядит следующим образом: Рисунок 2 (нажмите для просмотра) На рисунке выше для чисел 3, 9, 15, 21 мы изобразили только 1 переход. Это связано с тем, что эти числа особенные, они делятся на 3. В конце статьи мы расскажем про них более подробно. Особая связь (4n + 1) Давайте посмотрим на последовательности для 7 и 29. Рисунок 3 (нажмите для просмотра) Чтобы подняться из числа 11 на шаг наверх, нам нужно решить равенство $ 3x+1=2n $, где n = 11. А что если мы хотим еще выше? Давайте решим его для 8n: $ 3x+1=2n , n = \frac {3x+1} {2} $ $ 3y+1=8n , n = \frac {3y+1} {8} $ $ \frac {3x+1} {2} = \frac {3y+1} {8} $ $ y = 4x+1 $ Да, всё сходится: n = 11, x = 7, y = 29 (4x+1). Но давайте возьмем другой пример: Рисунок 4 (нажмите для просмотра) Чтобы подняться из числа 7 на два шага наверх, нам нужно решить равенство $ 3x+1=4n $, где n = 7. А что если мы хотим еще выше? Давайте решим его для 16n: $ 3x+1=4n , n = \frac {3x+1} {4} $ $ 3y+1=16n , n = \frac {3y+1} {16} $ $ \frac {3x+1} {4} = \frac {3y+1} {16} $ $ y = 4x+1 $ Да, всё верно: n = 7, x = 9, y = 37 (4x+1). Заметьте, мы специально взяли два примера, которые дают нам разный остаток от деления на три, но получили одну и ту же зависимость. Сформулируем её так: - Если число n связано с другим числом x по правилу 1/3, то число n также будет связано с его производным y по правилу $ y = 4x+1 $. Другими словами, нечетные числа x и y спускаются к единице по той же последовательности, что и число n. Если взять наш пример, то мы увидим: 37, 112, 56, 28… - это всего лишь производная ветка от 9, 28... 29, 88, 44, 22… - это всего лишь производная ветка от 7, 22... Расстояние между 9 и 37 два чётных числа. Расстояние между 7 и 29 тоже два чётных числа. Таким образом, мы установили, что для правила 4n+1 нечетные числа отделены друг от друга двумя чётными. Как нам уже известно, в правиле 1/3 расстояние между нечетными тоже не более двух чётных (2n, 4n). Никаких других закономерностей мы не нашли. И забегая вперед, скажем, что их нет. Всё вышесказанное означает: - Любые два подряд идущих чётных числа в последовательности Коллатца всегда ассоциируются с каким-то конкретным нечетным числом. Т.е. чётные числа не являются самостоятельными сущностями, они лишь побочный фактор переходов между нечетными. Из этого следует: - Если в последовательности Коллатца встречается более двух подряд идущих чётных чисел, то их можно разложить на комбинацию нечетных. При этом спуск до единицы не изменится (см. рисунок). Рисунок 5 (нажмите для просмотра) С учетом того, что никаких правил кроме 1/3 и 4n+1 в гипотезе Коллатца не существует, повторимся, это означает, что все чётные числа - это порождение формул 1/3 и 4n+1. Таким образом, главный наш вывод: - Мы можем убрать все чётные числа в последовательностях Коллатца, и оперировать только лишь правилами 1/3 и 4n+1. - Любая последовательность Коллатца – это всего лишь последовательность нечетных чисел, следующих друг за другом по правилам 1/3 и 4n+1. Лучший пример - число 27 Давайте сформируем настоящую (истинную) последовательность для 27, используя только лишь правила 1/3 и 4n+1: 27 -> 41 -> 31 -> 47 -> 71 -> 107 -> 161 -> 121 -> 91 -> 137 -> 103 -> 155 -> 233 -> 175 -> 263 -> 395 -> 593 -> 445 -> 111 -> 167 -> 251 -> 377 -> 283 -> 425 -> 319 -> 479 -> 719 -> 1079 -> 1619 -> 2429 -> 607 -> 911 -> 1367 -> 2051 -> 3077 -> 769 -> 577 -> 433 -> 325 -> 81 -> 61 -> 15 -> 23 -> 35 -> 53 -> 13 -> 3 -> 5 -> 1. Для чисел 3077, 2429, 445, 325, 61, 53, 13, 5 - мы воспользовались правилом (4n+1), в остальных случаях 1/3. Невероятно! Мы получили точно такую же последовательность спуска к единице, но все чётные исчезли. Окончательный вывод Постулат №1. Все последовательности Коллатца строятся только на связях между нечетными числами. Постулат №2. Любое нечетное число привязано к двум другим нечетным числам на расстоянии 1/3, либо по формуле (4n+1). Постулат №3. Нечетное число не может бесконечно возрастать на 1/3, потому что оно ограничено самим правилом 1/3. Применение правила 1/3 несколько раз подряд всегда дает разный остаток от деления на 3. Другими словами, нет такого числа, которое бы бесконечно возрастало на 1/3 по правилу 1/3. Постулат №4. Единица, в виде известной нам последовательности A002450, разбросана на множестве натуральных чисел бесконечно много раз: Рисунок 6 (нажмите для просмотра) Постулат №5. Для каждого числа соприкасающегося с A002450 происходит спуск к единице (не требует доказательства). Вывод: - Из-за конечности выбираемого нечетного числа и с учетом бесконечности A002450 следует, что гипотеза Коллатца верна. Особый ряд чисел Но, как мы и обещали, в конце статьи мы расскажем вам про особый ряд чисел. Для чисел кратных трем существует только лишь одна связь с другим нечетным числом, и эта связь однонаправленная: 3 -> 5 9 -> 7 15 -> 23 21 -> 5 (4n+1) 27 -> 41 33 -> 25 39 -> 59 45 -> 11 (4n+1) 51 -> 77 57 -> 43 63 -> 95 69 -> 17 (4n+1) Здесь прослеживается аналогия с чётными числами. Поэтому сделаем вывод: - Множество натуральных чисел от 1 до N (с точки зрения гипотезы Коллатца) можно разделить на фальшивые и истинные числа. Фальшивыми мы будем называть те числа, которые имеют только одну связь с нечетным числом. Например, все чётные числа - это фальшивые, потому что они всегда приведут нас только к одному нечетному числу. Числа кратные трем тоже фальшивые, они всегда приведут нас только к одному нечетному числу. Такого рода числа не меняют сути доказательства. Спуск к единице для фальшивых чисел аналогичен спуску к единице для истинного числа. Наше доказательство учитывает все истинные числа. Т.о. гипотеза Коллатца верна. Что и требовалось доказать. Матрица спуска Мы проверили матрицу спуска для чисел от 1 до 1000000000 на компьютере. Все числа гарантированно спускаются к единице по заданным в матрице правилам (1/3 и 4n+1). Каких-либо других правил, связывающих нечетные числа, мы не обнаружили. |
16.02.2023 17:41 Дата регистрации: 6 лет назад Посты: 5 106 | -1/12 А что в этой теме Коллатца уже не показали ваши исследования, но в более осмысленном варианте . http://www.mathforum.ru/forum/read/1/103156/page/11/ Здесь на форуме прямо в темах идет процесс исследования чисел. $n$ | $1/3 2^(2 n + 2) - 1/3$ 1 | 5 2 | 21 3 | 85 4 | 341 5 | 1365 6 | 5461 7 | 21845 8 | 87381 9 | 349525 Редактировалось 1 раз(а). Последний 16.02.2023 17:49. |
17.02.2023 15:15 Дата регистрации: 13 лет назад Посты: 1 093 | .
Взяв наугад некоторую последовательность Коллатца и произвольное нечетное число в ней, мы конечно можем вычислить следующее нечетное число, но предыдущее не можем. Так что связь односторонняя.
Это слишком туманное заявление. Между соседними нечетными числами может быть сколь угодно большое расстояние.
Собственно это главное "почему"? Почему нечетные числа в последовательности не могут возрастать, возрастать, потом немножко убывать, а потом опять возрастать и так далее.
Безусловно.
Не следует. Из бесконечности A002450 не следует, что в нее обязательно попадет какой-нибудь элемент из последовательности Коллатца. |
17.02.2023 19:04 Дата регистрации: 6 лет назад Посты: 5 106 | -1/12 .
Не следует. Из бесконечности A002450 не следует, что в нее обязательно попадет какой-нибудь элемент из последовательности Коллатца.[/quote] Это самая легкая гипотеза из всех гипотез что доказал . Таблицы здесь не годятся, нужна формула всех 4n+1 -- r-aax неделю назад предложил вам показать такую формулу, но вы конечно вне силах это составит . |
17.02.2023 21:07 Дата регистрации: 13 лет назад Посты: 1 093 | .
Вы не в состоянии решить даже детские упражнения. Куда Вам до гипотезы Коллатца)) |
17.02.2023 21:21 Дата регистрации: 6 лет назад Посты: 5 106 | -1/12
Поэтому формулу 4n+1 для всех нечетных не можешь составит , я же новую систему уже нашел с спуском к 1 которую ни великие ни любители еще долго не покажут . |
17.02.2023 21:43 Дата регистрации: 6 лет назад Посты: 5 106 | -1/12 [
Безусловно.
Не следует. Из бесконечности A002450 не следует, что в нее обязательно попадет какой-нибудь элемент из последовательности Коллатца.[/quote] Следует --и все попадают при итерации на 1-5-21 и т.д что легко доказать -- но r-aax конечно это не изучал в вузе . А тот кто создал эту тему скопировал исследования в моей теме не более - правда сути так и не понял . Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.02.2023 21:46. |
17.02.2023 21:44 Дата регистрации: 13 лет назад Посты: 1 093 | .
Вы не можете решить элементарное упражнение, несколько дней уже висит)) И кто-то должен поверить, что всякие гипотезы доказали? |
17.02.2023 21:47 Дата регистрации: 13 лет назад Посты: 1 093 | .
Пустая болтовня. Тривиальную задачку не можете в соседней теме решить, а значит и тут ничего не соображаете. |
17.02.2023 21:54 Дата регистрации: 6 лет назад Посты: 5 106 | -1/12
Прочти мои исследования гипотезы и сравни с тем что здесь показывают и поймешь . Единственно правильно то что написали : Из-за конечности выбираемого нечетного числа и с учетом бесконечности A002450 следует, что гипотеза Коллатца верна. Но они не могут показать как все числа приходят к A002450. А это уже гармония найденного мной детерминизма . Чтоб решать ваши тупые условия типа 9999..9 у меня ни времени нет ни сил ни желания --это дегенераты только могут учит детей . |
17.02.2023 22:02 Дата регистрации: 13 лет назад Посты: 1 093 | .
Только дегенерату для решения такой тривиальной задачи требуется затрачивать время и усилия. Для человека, который хоть немножко понимает в теории чисел, это устное упражнение. Это упражнение - просто индикатор. Если Вы не в состоянии его решить, что что-либо обсуждать с Вами - пустая трата времени. |
17.02.2023 22:06 Дата регистрации: 6 лет назад Посты: 5 106 | -1/12
Продолжайте зубрит вашу недееспособную вузовскую математику --неспособную осмыслить закономерность простых чисел . А общая формула для всех 4n+1 нечетных ,при этом имея первую k 1-5-21-85........... стыдно для математика с вашим стажем. Это вам не зубрежка чужих условии с решением . Редактировалось 4 раз(а). Последний 17.02.2023 22:15. |
17.02.2023 22:10 Дата регистрации: 13 лет назад Посты: 1 093 | .
Продолжайте строчить Ваш бред, в котором конечно разбираться никто не будет. На это у Вас времени хватает. |
17.02.2023 22:16 Дата регистрации: 6 лет назад Посты: 5 106 | -1/12
Математик тот кто новое создает ,а не повторяет уже известное . |
17.02.2023 22:24 Дата регистрации: 13 лет назад Посты: 1 093 | .
Не переживайте. К математике Вы отношения не имеете. Пожалуй пора показать решение того упражнения, на которое у Вас так не хватило сил )) |
17.02.2023 23:27 Дата регистрации: 6 лет назад Посты: 5 106 | -1/12
Я переживаю что забросил математику в детстве ,и не смогу исследовать более чем есть теперь сил --хотя тогда наверно и не увидел закономерность простых чисел. как и Вы . Редактировалось 2 раз(а). Последний 17.02.2023 23:30. |
18.02.2023 13:44 Дата регистрации: 1 год назад Посты: 94 | R-aax
Можем. Я публиковал статью на эту тему. Гипотеза Коллатца – это частный случай движения от N до 1. Более полный вариант, безусловно, вы правы, – это движение в сторону от 1 до N (со всеми возможными ответвлениями): http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=51&t=77286
Это происходит из-за того, что все нечетные числа рекурсивно связаны между собой (см. матрицу спуска), каждое число цепляет другое, и т.д., таким образом все числа цепляют друг друга. Хоть что выбирай, а спуск до единицы уже предрешен. В упомянутой статье, я как раз пишу об этом: - Все числа рождаются из единицы, и поэтому их спуск до единицы уже предрешен. Мы можем двигаться как от 1 до N, так и от N до 1. Это не имеет значения. Вот посмотрите, как происходит рождение первых чисел из единицы: 1, 2, 4, 8, 16, 5 1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 3 1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13 1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17 1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11 1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 7 1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 7, 14, 28, 9 1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 44, 88, 29, 58, 19 1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 44, 88, 29, 58, 19, 38, 76, 25 1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 80, 160, 53, 106, 35, 70, 23, 46, 15 Обратите внимание, это обычная последовательность Коллатца, только она развернута в обратном направлении и учитывает все числа, все ветки и все ответвления. И тут дилемма... Что появилось раньше: курица или яйцо? Это единица рождает все наши числа, или это все числа спускаются к 1? Неожиданно, да? :) Но если мы с вами дошли до такого, значит, мы уже доказали гипотезу. Потому что такая постановка вопроса означает, что мы понимаем, с чем имеем дело. Да, да, да. Вот именно. Это рекурсивная связь всех чисел со всеми. И матрица спуска это прекрасно демонстрирует. Какое бы число n вы не взяли, оно уже зацепилось за матрицу (за рекурсию) и спуск до единицы предрешен. Почему? Почему? Почему? – снова предвкушаю я ваши вопросы. :) Да, потому что по условию самой задачи (!) нам уже дана рекурсивная зависимость всех чисел со всеми. Вы не ослышались. Вот именно. Правило 1/3 – это бесконечная рекурсия нечетных чисел по отношению друг к другу. И если мы с вами хоть раз начали с единицы, то развернув рекурсию в обратную сторону, мы вернемся к 1. С вашего позволения, я подытожу. Гипотеза Коллатца – это частный случай спуска от N до 1 по рекурсии, которая уже была образована до этого от 1 до N. Пришло время переименовать эту задачу в «Задачу о рекурсивном возрастании с 1 до N и рекурсивном спуске с N до 1», – вот в такой постановке она была бы решена еще в 1932 г. И все вопросы сводились бы: - А как, ты разве не знал, что имеешь дело с рекурсией (которая начинается с единицы)? Ты что серьезно не понимаешь, что такое рекурсия, и почему она снова возвращается в 1? И какой-нибудь первоклассник во Франкфурте вышел бы к доске в 1932 г. и гордо произнес: - Я доказал гипотезу Коллатца! Потому что спуск к 1 - это всего лишь развернутая в обратном направлении рекурсия. И спустя 100 лет, какой-нибудь нобелевский лауреат подошел бы к нему в 2023 г. и спросил: - Слушай дедушка, а как же ты доказал? Вот не пойму, я. Хоть убей. И дедушка ответил: - Правило 1/3 (шаг назад) «равно» правилу 3n+1? Так? Да. - Почему? - Потому что это правила одной закономерности. Они одинаковы (зеркальны), идентичны. Они рекурсивно привязаны к mod 3. Они одно целое, их нельзя рассматривать отдельно друг от друга. - Ок, дедушка! Я всё понял! Но если мы начинаем двигаться с единицы (по правилу 1/3), разве сможем ли мы по 3n+1 вернуться в единицу? - Да, черт возьми, да! Потому что это одна и та же рекурсия! Выполняя одни и те же действия, нельзя сойти с этого пути. Доказательство гипотезы Коллатца сводится лишь к одному слову: РЕКУРСИЯ. |
18.02.2023 14:19 Дата регистрации: 3 года назад Посты: 2 390 | (3n + 1)/4 = 0.75n+0.25 Все док-во сводится к показу 1. Подъема относительно спуска коэффициент всего ~0,75 (доказывается Теорией вероятности из условия задачи (3n + 1)/4 ) 2. Невозможности бесконечного непрерывного подъема из любой точки. ( Доказывается Теорией чисел в 5 классе (6 палаты) тем, что 2^n - 1 < 2^n, где 2^n - 1 имеет максимальное число непрерывных шагов, и нечетное держится максимум только до n-го шага, потом проваливается в другую прогрессию, где держится еще меньшее число шагов чем n, и так далее, до единицы) Но это кому первого пункта мало. 3. Все иные комбинации (5n + 1)/4, (7n + 1)/4 и тд всегда имеют стартовые точки уходящие в бесконечность, так как общая вероятность подъема относительно спуска становится > 1. Это уже кому интересно. Редактировалось 1 раз(а). Последний 20.02.2023 10:42. |
18.02.2023 16:03 Дата регистрации: 6 лет назад Посты: 5 106 | -1/12
|
20.02.2023 10:12 Дата регистрации: 13 лет назад Посты: 1 093 | . 1) Во-первых, если Вы приводите цитату собеседника, то искажать ее нельзя. Я писал:
Вы процитировали меня следующим образом:
Я точно знаю, что хочу сказать, и поправлять мой текст, цитируя мои посты, не требуется. 2) Теперь по существу по замечанию. Еще раз, я писал:
Ваши возражения:
Возможно мы как-то по-разному понимаем, что такое последовательности Коллатца, и что такое для какого-то нечетного числа следующее и предыдущее нечетные числа. Я вот понимаю как-то в консервативном смысле: последовательность Коллатца, это последовательность, построенная по правилу, описанному в гипотезе, начиная с любого числа. Например, вот две разные последовательности (от чисел 3 и 7): Collatz(3): [3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1] Collatz(7): [7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1] В обеих последовательностях присутствует нечетное число 5. И если для обеих последовательностей следующее нечетное число предопределено и равно 1, то предыдущее нечетное число свое для каждой последовательности (3 и 13 соответственно). Именно поэтому я и говорю, что "взяв наугад некоторую последовательность Коллатца и произвольное нечетное число в ней, мы конечно можем вычислить следующее нечетное число, но предыдущее не можем" (информации только о значении рассматриваемого нечетного числа недостаточно). Если Вы утверждаете, что можем, значит у Вас понятия следующего и предыдущего нечетного числа определены по-своему. Приведи их и сформулируйте свое утверждение строго и напишите, что за связь Вы имеете в виду. Отсылать читать свои былые сообщения на других форумах не нужно. |
Copyright © 2000−2023 MathForum.Ru & MMOnline.Ru Разработка, поддержка и дизайн — MMForce.Net |