Гипотеза Коллатца

Автор темы martynov-m 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
16.02.2023 17:22
Гипотеза Коллатца
Гипотеза Коллатца
Это одна из нерешенных проблем математики. Получила широкую известность благодаря простоте формулировки:
- Берём любое натуральное число n. Если оно чётное, разделим его на 2, а если нечетное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n+1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее.
Какое бы начальное число n мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу, - так гласит гипотеза. И надо это доказать.

Давайте посмотрим на последовательности в гипотезе Коллатца (3n+1):

3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
5, 16, 8, 4, 2, 1
7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Таблица нечетных чисел

Рисунок 1 (нажмите для просмотра)

Обратим внимание, что первая строка таблицы - это ни что иное, как последовательность A002450: 1, 5, 21, 85, 341, 1365...
Справочник OEIS предлагает нам следующую формулу: a(m+1) = 4*a(m) + 1.

Связь таблицы с гипотезой
Шаг назад в гипотезе Коллатца выглядит следующим образом, пусть n – нечетное число, тогда:
- Чтобы получить предыдущее мы должны умножить n*2.
- Предположим, перед 2n находится нечетное число x. Тогда справедливо равенство: $ 3x + 1 = 2n $
- Получаем $ x = \frac {2n–1} {3}$.
- Результат $ \frac {2n} {3} – \frac 1 3 $ будет целым только в том случае, если n ≡ 2 mod(3).

Тогда для n ≡ 1 mod(3) удвоим количество четных чисел:
- Умножаем n на 2, и снова на 2.
- Предположим, перед 4n находится нечетное число x. Тогда справедливо равенство: $ 3x + 1 = 4n $
- Получаем $ x = \frac {4n–1} {3}$.
- Результат $ \frac {4n} {3} – \frac 1 3 $ всегда будет целый для n ≡ 1 mod(3).

Таким образом мы установили зависимость одного нечетного числа от другого.

Итак, в таблице:
a(1) - это шаг назад,
b(n) - это нечетное число,
x - нечетное число для случая b(n) = 4x+1.
a(m) - последовательность чисел, привязанная к b(n).

Правило 1/3 (одна треть)
Рассмотрим формулы $ (\frac {2n} {3} – \frac 1 3) $ и $ (\frac {4n} {3} – \frac 1 3) $ с другого ракурса.
Не будем обращать внимание на $ \frac {1} {3}$, как пренебрежительно малое число, и сосредоточимся только на $ \frac {2n} {3}$ и $ \frac {4n} {3}$. Это ни что иное, как уменьшение/увеличение числа n на $ \frac {1} {3}$. Такое уменьшение/увеличение будем называть "правилом 1/3".

Примечание
Конечно, "правило 1/3" - это просто шаг назад в гипотезе Коллатца, и оно дано нам по условию самой задачи. Но именно такое название передает всю суть гипотезы – многократное увеличение/уменьшение числа n на 1/3, пока оно не скатится до единицы.

Вопрос. Можно ли по этой таблице спуститься к 1?
Да, можно. Это не просто таблица, это матрица спуска к единице. Спуск выглядит следующим образом:

Рисунок 2 (нажмите для просмотра)

На рисунке выше для чисел 3, 9, 15, 21 мы изобразили только 1 переход. Это связано с тем, что эти числа особенные, они делятся на 3. В конце статьи мы расскажем про них более подробно.

Особая связь (4n + 1)
Давайте посмотрим на последовательности для 7 и 29.

Рисунок 3 (нажмите для просмотра)

Чтобы подняться из числа 11 на шаг наверх, нам нужно решить равенство $ 3x+1=2n $, где n = 11.
А что если мы хотим еще выше? Давайте решим его для 8n:

$ 3x+1=2n , n = \frac {3x+1} {2} $

$ 3y+1=8n , n = \frac {3y+1} {8} $

$ \frac {3x+1} {2} = \frac {3y+1} {8} $

$ y = 4x+1 $

Да, всё сходится: n = 11, x = 7, y = 29 (4x+1).
Но давайте возьмем другой пример:

Рисунок 4 (нажмите для просмотра)

Чтобы подняться из числа 7 на два шага наверх, нам нужно решить равенство $ 3x+1=4n $, где n = 7.
А что если мы хотим еще выше? Давайте решим его для 16n:

$ 3x+1=4n , n = \frac {3x+1} {4} $

$ 3y+1=16n , n = \frac {3y+1} {16} $

$ \frac {3x+1} {4} = \frac {3y+1} {16} $

$ y = 4x+1 $

Да, всё верно: n = 7, x = 9, y = 37 (4x+1).

Заметьте, мы специально взяли два примера, которые дают нам разный остаток от деления на три, но получили одну и ту же зависимость.
Сформулируем её так:
- Если число n связано с другим числом x по правилу 1/3, то число n также будет связано с его производным y по правилу $ y = 4x+1 $.
Другими словами, нечетные числа x и y спускаются к единице по той же последовательности, что и число n.

Если взять наш пример, то мы увидим:
37, 112, 56, 28… - это всего лишь производная ветка от 9, 28...
29, 88, 44, 22… - это всего лишь производная ветка от 7, 22...
Расстояние между 9 и 37 два чётных числа. Расстояние между 7 и 29 тоже два чётных числа.

Таким образом, мы установили, что для правила 4n+1 нечетные числа отделены друг от друга двумя чётными. Как нам уже известно, в правиле 1/3 расстояние между нечетными тоже не более двух чётных (2n, 4n).
Никаких других закономерностей мы не нашли. И забегая вперед, скажем, что их нет.

Всё вышесказанное означает:
- Любые два подряд идущих чётных числа в последовательности Коллатца всегда ассоциируются с каким-то конкретным нечетным числом. Т.е. чётные числа не являются самостоятельными сущностями, они лишь побочный фактор переходов между нечетными.

Из этого следует:
- Если в последовательности Коллатца встречается более двух подряд идущих чётных чисел, то их можно разложить на комбинацию нечетных. При этом спуск до единицы не изменится (см. рисунок).

Рисунок 5 (нажмите для просмотра)

С учетом того, что никаких правил кроме 1/3 и 4n+1 в гипотезе Коллатца не существует, повторимся, это означает, что все чётные числа - это порождение формул 1/3 и 4n+1.

Таким образом, главный наш вывод:
- Мы можем убрать все чётные числа в последовательностях Коллатца, и оперировать только лишь правилами 1/3 и 4n+1.
- Любая последовательность Коллатца – это всего лишь последовательность нечетных чисел, следующих друг за другом по правилам 1/3 и 4n+1.

Лучший пример - число 27
Давайте сформируем настоящую (истинную) последовательность для 27, используя только лишь правила 1/3 и 4n+1:

27 -> 41 -> 31 -> 47 -> 71 -> 107 -> 161 -> 121 -> 91 -> 137 -> 103 -> 155 -> 233 -> 175 -> 263 -> 395 -> 593 -> 445 -> 111 -> 167 -> 251 -> 377 -> 283 -> 425 -> 319 -> 479 -> 719 -> 1079 -> 1619 -> 2429 -> 607 -> 911 -> 1367 -> 2051 -> 3077 -> 769 -> 577 -> 433 -> 325 -> 81 -> 61 -> 15 -> 23 -> 35 -> 53 -> 13 -> 3 -> 5 -> 1.

Для чисел 3077, 2429, 445, 325, 61, 53, 13, 5 - мы воспользовались правилом (4n+1), в остальных случаях 1/3.
Невероятно! Мы получили точно такую же последовательность спуска к единице, но все чётные исчезли.

Окончательный вывод
Постулат №1. Все последовательности Коллатца строятся только на связях между нечетными числами.

Постулат №2. Любое нечетное число привязано к двум другим нечетным числам на расстоянии 1/3, либо по формуле (4n+1).

Постулат №3. Нечетное число не может бесконечно возрастать на 1/3, потому что оно ограничено самим правилом 1/3. Применение правила 1/3 несколько раз подряд всегда дает разный остаток от деления на 3. Другими словами, нет такого числа, которое бы бесконечно возрастало на 1/3 по правилу 1/3.

Постулат №4. Единица, в виде известной нам последовательности A002450, разбросана на множестве натуральных чисел бесконечно много раз:

Рисунок 6 (нажмите для просмотра)

Постулат №5. Для каждого числа соприкасающегося с A002450 происходит спуск к единице (не требует доказательства).

Вывод:
- Из-за конечности выбираемого нечетного числа и с учетом бесконечности A002450 следует, что гипотеза Коллатца верна.

Особый ряд чисел
Но, как мы и обещали, в конце статьи мы расскажем вам про особый ряд чисел.
Для чисел кратных трем существует только лишь одна связь с другим нечетным числом, и эта связь однонаправленная:

3 -> 5
9 -> 7
15 -> 23
21 -> 5 (4n+1)
27 -> 41
33 -> 25
39 -> 59
45 -> 11 (4n+1)
51 -> 77
57 -> 43
63 -> 95
69 -> 17 (4n+1)

Здесь прослеживается аналогия с чётными числами. Поэтому сделаем вывод:
- Множество натуральных чисел от 1 до N (с точки зрения гипотезы Коллатца) можно разделить на фальшивые и истинные числа. Фальшивыми мы будем называть те числа, которые имеют только одну связь с нечетным числом. Например, все чётные числа - это фальшивые, потому что они всегда приведут нас только к одному нечетному числу. Числа кратные трем тоже фальшивые, они всегда приведут нас только к одному нечетному числу. Такого рода числа не меняют сути доказательства. Спуск к единице для фальшивых чисел аналогичен спуску к единице для истинного числа. Наше доказательство учитывает все истинные числа.
Т.о. гипотеза Коллатца верна. Что и требовалось доказать.

Матрица спуска

Мы проверили матрицу спуска для чисел от 1 до 1000000000 на компьютере. Все числа гарантированно спускаются к единице по заданным в матрице правилам (1/3 и 4n+1).
Каких-либо других правил, связывающих нечетные числа, мы не обнаружили.
16.02.2023 17:41
-1/12
А что в этой теме Коллатца уже не показали ваши исследования, но
в более осмысленном варианте .

http://www.mathforum.ru/forum/read/1/103156/page/11/

Здесь на форуме прямо в темах идет процесс исследования чисел.
$n$ | $1/3 2^(2 n + 2) - 1/3$
1 | 5
2 | 21
3 | 85
4 | 341
5 | 1365
6 | 5461
7 | 21845
8 | 87381
9 | 349525



Редактировалось 1 раз(а). Последний 16.02.2023 17:49.
17.02.2023 15:15
.
Цитата
martynov-m
Постулат №1. Все последовательности Коллатца строятся только на связях между нечетными числами.

Взяв наугад некоторую последовательность Коллатца и произвольное нечетное число в ней, мы конечно можем вычислить следующее нечетное число, но предыдущее не можем. Так что связь односторонняя.

Цитата
martynov-m
Постулат №2. Любое нечетное число привязано к двум другим нечетным числам на расстоянии 1/3, либо по формуле (4n+1).

Это слишком туманное заявление. Между соседними нечетными числами может быть сколь угодно большое расстояние.

Цитата
martynov-m
Постулат №3. Нечетное число не может бесконечно возрастать на 1/3, потому что оно ограничено самим правилом 1/3. Применение правила 1/3 несколько раз подряд всегда дает разный остаток от деления на 3. Другими словами, нет такого числа, которое бы бесконечно возрастало на 1/3 по правилу 1/3.

Собственно это главное "почему"? Почему нечетные числа в последовательности не могут возрастать, возрастать, потом немножко убывать, а потом опять возрастать и так далее.

Цитата
martynov-m
Постулат №4. Единица, в виде известной нам последовательности A002450, разбросана на множестве натуральных чисел бесконечно много раз:

Постулат №5. Для каждого числа соприкасающегося с A002450 происходит спуск к единице (не требует доказательства).

Безусловно.

Цитата
martynov-m
Вывод:
- Из-за конечности выбираемого нечетного числа и с учетом бесконечности A002450 следует, что гипотеза Коллатца верна.

Не следует. Из бесконечности A002450 не следует, что в нее обязательно попадет какой-нибудь элемент из последовательности Коллатца.
17.02.2023 19:04
-1/12
.

Цитата
martynov-m
Вывод:
- Из-за конечности выбираемого нечетного числа и с учетом бесконечности A002450 следует, что гипотеза Коллатца верна.

Не следует. Из бесконечности A002450 не следует, что в нее обязательно попадет какой-нибудь элемент из последовательности Коллатца.[/quote]

Это самая легкая гипотеза из всех гипотез что доказал .

Таблицы здесь не годятся, нужна формула всех 4n+1 --

r-aax неделю назад предложил вам показать такую формулу, но вы
конечно вне силах это составит .
17.02.2023 21:07
.
Цитата
ammo77
Это самая легкая гипотеза из всех гипотез что доказал .

Вы не в состоянии решить даже детские упражнения.
Куда Вам до гипотезы Коллатца))
17.02.2023 21:21
-1/12
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
Это самая легкая гипотеза из всех гипотез что доказал .

Вы не в состоянии решить даже детские упражнения.
Куда Вам до гипотезы Коллатца))

Поэтому формулу 4n+1 для всех нечетных не можешь составит ,
я же новую систему уже нашел с спуском к 1 которую
ни великие ни любители еще долго не покажут .
17.02.2023 21:43
-1/12
[

Цитата
martynov-m
Постулат №4. Единица, в виде известной нам последовательности A002450, разбросана на множестве натуральных чисел бесконечно много раз:

Постулат №5. Для каждого числа соприкасающегося с A002450 происходит спуск к единице (не требует доказательства).

Безусловно.

Цитата
martynov-m
Вывод:
- Из-за конечности выбираемого нечетного числа и с учетом бесконечности A002450 следует, что гипотеза Коллатца верна.

Не следует. Из бесконечности A002450 не следует, что в нее обязательно попадет какой-нибудь элемент из последовательности Коллатца.[/quote]


Следует --и все попадают при итерации на 1-5-21 и т.д что легко доказать --
но r-aax конечно это не изучал в вузе .

А тот кто создал эту тему скопировал исследования в моей теме не более -
правда сути так и не понял .



Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.02.2023 21:46.
17.02.2023 21:44
.
Цитата
ammo77
я же новую систему уже нашел с спуском к 1 которую
ни великие ни любители еще долго не покажут

Вы не можете решить элементарное упражнение, несколько дней уже висит))
И кто-то должен поверить, что всякие гипотезы доказали?
17.02.2023 21:47
.
Цитата
ammo77
Следует --и все попадают при итерации на 1-5-21 и т.д что легко доказать --
но r-aax конечно это не изучал в вузе .

Пустая болтовня.
Тривиальную задачку не можете в соседней теме решить, а значит и тут ничего не соображаете.
17.02.2023 21:54
-1/12
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
я же новую систему уже нашел с спуском к 1 которую
ни великие ни любители еще долго не покажут

Вы не можете решить элементарное упражнение, несколько дней уже висит))
И кто-то должен поверить, что всякие гипотезы доказали?

Прочти мои исследования гипотезы и сравни с тем что здесь показывают и поймешь .

Единственно правильно то что написали :

Из-за конечности выбираемого нечетного числа и с учетом бесконечности A002450 следует, что гипотеза Коллатца верна.

Но они не могут показать как все числа приходят к A002450.

А это уже гармония найденного мной детерминизма .

Чтоб решать ваши тупые условия типа 9999..9 у меня ни времени нет ни сил ни
желания --это дегенераты только могут учит детей .
17.02.2023 22:02
.
Цитата
ammo77
Чтоб решать ваши тупые условия типа 9999..9 у меня ни времени нет ни сил ни
желания --это дегенераты только могут учит детей .

Только дегенерату для решения такой тривиальной задачи требуется затрачивать время и усилия. Для человека, который хоть немножко понимает в теории чисел, это устное упражнение. Это упражнение - просто индикатор. Если Вы не в состоянии его решить, что что-либо обсуждать с Вами - пустая трата времени.
17.02.2023 22:06
-1/12
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
я же новую систему уже нашел с спуском к 1 которую
ни великие ни любители еще долго не покажут

Вы не можете решить элементарное упражнение, несколько дней уже висит))
И кто-то должен поверить, что всякие гипотезы доказали?

Продолжайте зубрит вашу недееспособную вузовскую математику --неспособную

осмыслить закономерность простых чисел .

А общая формула для всех 4n+1 нечетных ,при этом имея первую k
1-5-21-85........... стыдно для математика с вашим стажем.

Это вам не зубрежка чужих условии с решением .



Редактировалось 4 раз(а). Последний 17.02.2023 22:15.
17.02.2023 22:10
.
Цитата
ammo77
Продолжайте зубрит вашу недееспособную вузовскую математику --неспособную

осмыслить закономерность простых чисел .

Продолжайте строчить Ваш бред, в котором конечно разбираться никто не будет. На это у Вас времени хватает.
17.02.2023 22:16
-1/12
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
Продолжайте зубрит вашу недееспособную вузовскую математику --неспособную

осмыслить закономерность простых чисел .

Продолжайте строчить Ваш бред, в котором конечно разбираться никто не будет. На это у Вас времени хватает.

Математик тот кто новое создает ,а не повторяет уже известное .
17.02.2023 22:24
.
Цитата
ammo77
Математик тот кто новое создает ,а не повторяет уже известное .

Не переживайте. К математике Вы отношения не имеете.
Пожалуй пора показать решение того упражнения, на которое у Вас так не хватило сил ))
17.02.2023 23:27
-1/12
Цитата
r-aax
Цитата
ammo77
Математик тот кто новое создает ,а не повторяет уже известное .

Не переживайте. К математике Вы отношения не имеете.
Пожалуй пора показать решение того упражнения, на которое у Вас так не хватило сил ))

Я переживаю что забросил математику в детстве ,и не смогу исследовать более чем есть теперь сил --хотя тогда наверно и не увидел закономерность простых
чисел. как и Вы .



Редактировалось 2 раз(а). Последний 17.02.2023 23:30.
18.02.2023 13:44
R-aax
Цитата
r-aax
Взяв наугад некоторую последовательность Коллатца и произвольное нечетное число в ней, мы, конечно, можем вычислить следующее нечетное число (3n+1), но предыдущее не можем. Так что связь односторонняя.

Можем. Я публиковал статью на эту тему. Гипотеза Коллатца – это частный случай движения от N до 1. Более полный вариант, безусловно, вы правы, – это движение в сторону от 1 до N (со всеми возможными ответвлениями):

http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=51&t=77286

Цитата
r-aax
Из бесконечности A002450 не следует, что в нее обязательно попадет какой-нибудь элемент из последовательности Коллатца.

Это происходит из-за того, что все нечетные числа рекурсивно связаны между собой (см. матрицу спуска), каждое число цепляет другое, и т.д., таким образом все числа цепляют друг друга. Хоть что выбирай, а спуск до единицы уже предрешен.

В упомянутой статье, я как раз пишу об этом:
- Все числа рождаются из единицы, и поэтому их спуск до единицы уже предрешен. Мы можем двигаться как от 1 до N, так и от N до 1. Это не имеет значения.

Вот посмотрите, как происходит рождение первых чисел из единицы:

1, 2, 4, 8, 16, 5
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 3
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 7
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 7, 14, 28, 9
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 44, 88, 29, 58, 19
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 44, 88, 29, 58, 19, 38, 76, 25
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 80, 160, 53, 106, 35, 70, 23, 46, 15

Обратите внимание, это обычная последовательность Коллатца, только она развернута в обратном направлении и учитывает все числа, все ветки и все ответвления.

И тут дилемма... Что появилось раньше: курица или яйцо? Это единица рождает все наши числа, или это все числа спускаются к 1?
Неожиданно, да? :)

Но если мы с вами дошли до такого, значит, мы уже доказали гипотезу. Потому что такая постановка вопроса означает, что мы понимаем, с чем имеем дело.

Да, да, да. Вот именно. Это рекурсивная связь всех чисел со всеми. И матрица спуска это прекрасно демонстрирует. Какое бы число n вы не взяли, оно уже зацепилось за матрицу (за рекурсию) и спуск до единицы предрешен.

Почему? Почему? Почему? – снова предвкушаю я ваши вопросы. :)

Да, потому что по условию самой задачи (!) нам уже дана рекурсивная зависимость всех чисел со всеми. Вы не ослышались. Вот именно. Правило 1/3 – это бесконечная рекурсия нечетных чисел по отношению друг к другу. И если мы с вами хоть раз начали с единицы, то развернув рекурсию в обратную сторону, мы вернемся к 1.

С вашего позволения, я подытожу. Гипотеза Коллатца – это частный случай спуска от N до 1 по рекурсии, которая уже была образована до этого от 1 до N.

Пришло время переименовать эту задачу в «Задачу о рекурсивном возрастании с 1 до N и рекурсивном спуске с N до 1», – вот в такой постановке она была бы решена еще в 1932 г.
И все вопросы сводились бы:
- А как, ты разве не знал, что имеешь дело с рекурсией (которая начинается с единицы)? Ты что серьезно не понимаешь, что такое рекурсия, и почему она снова возвращается в 1?

И какой-нибудь первоклассник во Франкфурте вышел бы к доске в 1932 г. и гордо произнес:
- Я доказал гипотезу Коллатца! Потому что спуск к 1 - это всего лишь развернутая в обратном направлении рекурсия.

И спустя 100 лет, какой-нибудь нобелевский лауреат подошел бы к нему в 2023 г. и спросил:
- Слушай дедушка, а как же ты доказал? Вот не пойму, я. Хоть убей.

И дедушка ответил:

- Правило 1/3 (шаг назад) «равно» правилу 3n+1? Так? Да.

- Почему?

- Потому что это правила одной закономерности. Они одинаковы (зеркальны), идентичны. Они рекурсивно привязаны к mod 3. Они одно целое, их нельзя рассматривать отдельно друг от друга.

- Ок, дедушка! Я всё понял! Но если мы начинаем двигаться с единицы (по правилу 1/3), разве сможем ли мы по 3n+1 вернуться в единицу?

- Да, черт возьми, да! Потому что это одна и та же рекурсия! Выполняя одни и те же действия, нельзя сойти с этого пути.

Доказательство гипотезы Коллатца сводится лишь к одному слову: РЕКУРСИЯ.
18.02.2023 14:19
(3n + 1)/4 = 0.75n+0.25
Все док-во сводится к показу

1. Подъема относительно спуска коэффициент всего ~0,75 (доказывается Теорией вероятности из условия задачи (3n + 1)/4 )
2. Невозможности бесконечного непрерывного подъема из любой точки. ( Доказывается Теорией чисел в 5 классе (6 палаты) тем, что 2^n - 1 < 2^n, где 2^n - 1 имеет максимальное число непрерывных шагов, и нечетное держится максимум только до n-го шага, потом проваливается в другую прогрессию, где держится еще меньшее число шагов чем n, и так далее, до единицы)
Но это кому первого пункта мало.
3. Все иные комбинации (5n + 1)/4, (7n + 1)/4 и тд всегда имеют стартовые точки уходящие в бесконечность, так как общая вероятность подъема относительно спуска становится > 1.
Это уже кому интересно.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 20.02.2023 10:42.
18.02.2023 16:03
-1/12
Цитата
martynov-m
Цитата
r-aax
и.

Доказательство гипотезы Коллатца сводится лишь к одному слову: РЕКУРСИЯ.

И все же только РЕКУРСИЯ не дает сути и осмысления всего процесса ,хотя
если ее показ есть доказательство тем лучше .

А что вам так трудно доказать что все числа спускаются к 2^n ?

И зачем строите таблицы если существует формула всех нечетных 4n+1 ?

То что гипотеза верна давно знаем и доказали уже ,то что мы показали в другой теме у вас всего малый фрагмент, кстати РЕКУРСИЯ так же упомянута в ней .

Главная причина все же в формуле ф(n)=ф(2n) или принцип нечетного и его
удвоения равны значением от функции Эйлера ф1и ф2=1 и
что главное истекает от этого? мой друзья критики так и не могут показать .

Как вижу и вы этого не видите .


Одну k формулы в подарок за усердие -проверяйте может итерация более +2 между ними .

n | 287/3 2^(2 n + 1) - 1/3
1 | 765
2 | 3061
3 | 12245
4 | 48981
5 | 195925
6 | 783701
7 | 3134805
8 | 12539221
9 | 50156885
10 | 200627541



Редактировалось 2 раз(а). Последний 18.02.2023 16:18.
20.02.2023 10:12
.
1) Во-первых, если Вы приводите цитату собеседника, то искажать ее нельзя.

Я писал:

Цитата
r-aax
Взяв наугад некоторую последовательность Коллатца и произвольное нечетное число в ней, мы конечно можем вычислить следующее нечетное число, но предыдущее не можем. Так что связь односторонняя.

Вы процитировали меня следующим образом:

Цитата
martynov-m
Цитата
r-aax
Взяв наугад некоторую последовательность Коллатца и произвольное нечетное число в ней, мы, конечно, можем вычислить следующее нечетное число (3n+1), но предыдущее не можем. Так что связь односторонняя.

Я точно знаю, что хочу сказать, и поправлять мой текст, цитируя мои посты, не требуется.

2) Теперь по существу по замечанию.

Еще раз, я писал:

Цитата
r-aax
Взяв наугад некоторую последовательность Коллатца и произвольное нечетное число в ней, мы конечно можем вычислить следующее нечетное число, но предыдущее не можем. Так что связь односторонняя.

Ваши возражения:

Цитата
martynov-m
Можем. Я публиковал статью на эту тему. Гипотеза Коллатца – это частный случай движения от N до 1. Более полный вариант, безусловно, вы правы, – это движение в сторону от 1 до N (со всеми возможными ответвлениями):

http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=51&t=77286

Возможно мы как-то по-разному понимаем, что такое последовательности Коллатца, и что такое для какого-то нечетного числа следующее и предыдущее нечетные числа. Я вот понимаю как-то в консервативном смысле: последовательность Коллатца, это последовательность, построенная по правилу, описанному в гипотезе, начиная с любого числа. Например, вот две разные последовательности (от чисел 3 и 7):

Collatz(3):  [3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]
Collatz(7):  [7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]


В обеих последовательностях присутствует нечетное число 5. И если для обеих последовательностей следующее нечетное число предопределено и равно 1, то предыдущее нечетное число свое для каждой последовательности (3 и 13 соответственно).

Именно поэтому я и говорю, что "взяв наугад некоторую последовательность Коллатца и произвольное нечетное число в ней, мы конечно можем вычислить следующее нечетное число, но предыдущее не можем" (информации только о значении рассматриваемого нечетного числа недостаточно). Если Вы утверждаете, что можем, значит у Вас понятия следующего и предыдущего нечетного числа определены по-своему. Приведи их и сформулируйте свое утверждение строго и напишите, что за связь Вы имеете в виду. Отсылать читать свои былые сообщения на других форумах не нужно.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти