G- утверждение, эквивалентное «Парадоксу Лжеца» (в варианте: «Данное высказывание утверждает , что оно ложно»), предложенным К. Гёделем способом нумерации формул=утверждений, в действительности построено быть не может, и, соответственно, G№ не имеет. А, следовательно, не может быть использовано как инструмент в доказательстве Малой и Большой «Теорем о неполноте».
Логическая цепочка, если коротко, такая:
К. Гёдель ввел несколько новых обозначений.
Dem(x, z) – арифметическое отношение между натуральными числами – Гёделевыми номерами, возникающее тогда и только тогда, когда последовательность формул с G№=x является доказательством формулы с G№= z.
sub(y, 13, y) – некая функция, отображение из множества G№ в множество G№.
Для построения доказательства он использовал «формулу»
∀ x ~ Dem(x, sub(y, 13, y))
являющуюся, в обще случае, лишь записью, последовательностью символов, и превращающуюся в ФОРМУЛУ = утверждение, об истинности или ложности которого имеет смысл говорить*, имеющую G№, лишь после того как функция sub(y, 13, y) примет некое определенное целочисленное значение, что возможно только после подстановки конкретного значения аргумента y в функцию sub(y, 13, y). И действия возможны только в таком порядке, и никоим образом не в том, которое использовал в своем построении К. Гёдель. Логика его доказательства была бы безукоризненна, если бы запись ∀ x ~ Dem(x, sub(y, 13, y)) была формулой и имела G№. Но в том то и вопрос…
* Мы же помним, что, по определению, Dem – арифметическое отношение между двумя числами, но никоим образом не между числом и функцией.
Желающие могут посмотреть более подробное обоснование данного положения здесь: PREPRINTS.RU. https://doi.org/10.24108/preprints-3112620
