Доказать утверждение из теории чисел

Автор темы posivan 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!07.10.2023 13:49
18.02.2023 16:39
Доказать утверждение из теории чисел
n - произвольное натуральное число не кратное 2 и 5.
к-произвольное натуральное число состоящие из j цифр.
Y_i=k*10^(0*j)+k*10^(1*j)+k*10^(2*j)+...+k*10^(i*j)

Доказать, что существую такой индекс i, что Y_i делится на n.

----------------------------------------------------------------------------------------
Нетрудно заметить, что утверждение из предыдущего поста http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108239/page/1/ является частным случаем, когда k=9



Редактировалось 2 раз(а). Последний 18.02.2023 16:40.
20.02.2023 09:45
.
В предыдущем посте приведено доказательство утверждения:

Цитата
r-aax
Условие:
Доказать, что для любого натурального N, не кратного 2 и не кратного 5, найдётся такое число Y, состоящее только из девяток, которое делится на N.

Доказательство:
Рассмотрим N из условия задачи. Найдем для него такие M и K (M > K), что 10^M = 10^K (mod N), это всегда можно сделать ввиду конечности N. Тогда N | (10^M - 10^K) => N | (10^K *(10^(M - K) - 1)). А так как (10^K, N) = 1, то N | (10^(M - K) - 1). Что и требовалось доказать, так как число 10^(M - K) - 1 состоит только из девяток.

Проделайте точно такое же упражнение с Вашим новым условием.
20.02.2023 10:36
между прочим
y_i = k* 10 (10^(i - 1) - 1) / 9

при n = p (простое кроме 2 и 5)

i - 1 = ф(p)

10^(p - 1) - 1 (mod p) = 0
20.02.2023 11:22
.
Цитата
vorvalm
y_i = k* 10 (10^(i - 1) - 1) / 9

Не совсем точно, не учтено количество знаков числа k.
Например, для k = 13 автор хочет последовательность y_i со значениями 13, 1313, 131313...
Ваша формула дает другие значения.
20.02.2023 11:51
между прочим
В условии задачи К является множителем.и
выносится за скобки
20.02.2023 12:19
.
Цитата
vorvalm
В условии задачи К является множителем.и
выносится за скобки

Какое нужно взять i, чтобы при k = 13 получить значение y_i = 1313?
20.02.2023 14:17
между прочим
В условии задачи требуется найти индекс i
при котором Y_i делится на n
20.02.2023 15:11
.
Цитата
vorvalm
В условии задачи требуется найти индекс i
при котором Y_i делится на n

У автора в условии:

Цитата
posivan
Y_i=k*10^(0*j)+k*10^(1*j)+k*10^(2*j)+...+k*10^(i*j)

В Вашем решении:

Цитата
vorvalm
y_i = k* 10 (10^(i - 1) - 1) / 9

Это не одно и то же.
Возьмите, например, k = 13 (тогда j = 2) и i = 3.

Тогда формула от posivan даст:
Y_5 = 13*10^(0*2) + 13*10^(1*2) + 13*10^(2*2) + 13*10^(3*2)
Это равно 13131313

Ваша формула дает другой ответ:
y_i = 13 * 10 * (10^(3 - 1) - 1) / 9
Это равно 1430, что совсем не то.

Вы решаете другую задачу.
20.02.2023 15:36
между прочим
Я извиняюсь, конечно, но
ваше число делится на 13 и
мое тоже делится на 13.
Так что какие притезии ?
20.02.2023 15:52
.
Цитата
vorvalm
Я извиняюсь, конечно, но
ваше число делится на 13 и
мое тоже делится на 13.
Так что какие притезии ?

Претензии такие, что в условии задачи требуется отыскать число вида Y_i=k*10^(0*j)+k*10^(1*j)+k*10^(2*j)+...+k*10^(i*j), а Вы ищете число вида y_i = k* 10 (10^(i - 1) - 1) / 9.
То есть Вы решаете не ту задачу, которая поставлена.
20.02.2023 16:10
между прочим
Цитата
posivan
n - произвольное натуральное число не кратное 2 и 5.


Доказать, что существую такой индекс i, что Y_i делится на n.
20.02.2023 16:17
.
Цитата
vorvalm
Цитата
posivan
n - произвольное натуральное число не кратное 2 и 5.


Доказать, что существую такой индекс i, что Y_i делится на n.

Вот и доказывайте для чисел Y_i того вида, что приведено в условии:

Цитата
posivan
Y_i=k*10^(0*j)+k*10^(1*j)+k*10^(2*j)+...+k*10^(i*j)

а не для каких-то своих чисел:

Цитата
vorvalm
y_i = k* 10 (10^(i - 1) - 1) / 9

Это разные последовательности.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 20.02.2023 16:18.
20.02.2023 16:32
между прочим
Да, вы правы.
Я неправильно понял условия задачи.
22.02.2023 09:43
Доказать утверждение из теории чисел
Цитата
r-aax
В предыдущем посте приведено доказательство утверждения:

Цитата
r-aax
Условие:
Доказать, что для любого натурального N, не кратного 2 и не кратного 5, найдётся такое число Y, состоящее только из девяток, которое делится на N.

Доказательство:
Рассмотрим N из условия задачи. Найдем для него такие M и K (M > K), что 10^M = 10^K (mod N), это всегда можно сделать ввиду конечности N. Тогда N | (10^M - 10^K) => N | (10^K *(10^(M - K) - 1)). А так как (10^K, N) = 1, то N | (10^(M - K) - 1). Что и требовалось доказать, так как число 10^(M - K) - 1 состоит только из девяток.

Проделайте точно такое же упражнение с Вашим новым условием.

простое и интересное, даже теорема Эйлера не понадобилась, cпасибо)
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти