Линейная независимость векторов A, B, C и независимость A+B, B+C, C+A

Автор темы kamikazeman (Илья) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
Форумы Список тем Новая тема
24.01.2008 01:32
kamikazeman (Илья)
Линейная независимость векторов A, B, C и независимость A+B, B+C, C+A
Помогите решить упражнение:
Докажите,что векторы A B C линейно независимы тогда и только тогда, когда A+B, B+C, C+A линейно независимы.
Ответить Цитировать
25.01.2008 10:23
antbez
решение
Считаем смеш. произв. векторов a+b,b+c,c+a. Оно равно 2abc. Условие лин-незав= не-равенство 0 смеш произв. А если оно не равно 0, то не равно 0 и смеш произв векторов abc- значит, они- лин-независимы
Ответить Цитировать
25.01.2008 14:09
ad_dy
хмм.
antbez, а с чего вы взяли, что векторы трехмерные?

Ответить Цитировать
26.01.2008 18:13
antbez
Наверное можно и для двумерных доказать
Привычней работать с трёхмерными
Ответить Цитировать
26.01.2008 19:54
echooff (Echo-off)
для двумерных проще всего
Трёх двумерных линейно-независимых векторов не бывает ;)
Видимо, ad_dy имел ввиду, "почему не многомерные?"
Ответить Цитировать
27.01.2008 13:44
ad_dy
Ну, в-общем, да
Я-то думал, что antbez знает о существовании чисел, больших, чем 3 ...

Ну в n-мерном случае нужно повторить то же самое рассуждение, только называя всё по-другому.

На самом деле задача действительно глубоко трёхмерная. Скажем, в одну сторону: если a,b,c независимы, то возьмем их за базис в трехмерном пространстве, на них натянутом, и в нём посчитаем соответствующее смешанное произведение: a+b=(1,1,0), и т. д.

Ответить Цитировать
27.01.2008 14:33
egor
Можно через определение лин. независимости
Цитата

ad_dy писал:
Ну в n-мерном случае нужно повторить то же самое рассуждение, только называя всё по-другому.

На самом деле задача действительно глубоко трёхмерная. Скажем, в одну сторону: если a,b,c независимы, то возьмем их за базис в трехмерном пространстве, на них натянутом, и в нём посчитаем соответствующее смешанное произведение: a+b=(1,1,0), и т. д.
Да, но можно посмотреть на это упражнение немножко с другой стороны. Действовать через определение линейной независимости и системы однородных линейных уравнений. Такой подход легче обобщить на некоторые подобные упражнения.
Ответить Цитировать
28.01.2008 10:49
antbez
можно и так
Я привёл простое решение для простого случая. Этого вполне достаточно! А через линейную независимость (базисные разложения) тоже легко.
Ответить Цитировать
28.01.2008 18:10
ad_dy
может быть, может быть ...
Цитата

Да, но можно посмотреть на это упражнение немножко с другой стороны.
Да, возможно, это поучительнее.
Ответить Цитировать
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти