Всем привет. Не получается решить задание из учебника Колмогорова Фомина.
Пусть
$E$ - линейное топологическое пространство. Доказать, что линейный функционал
$f(x)$ на этом пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда существует такое открытое множество
$U$ и такое число
$t$, что
$f(x) \ne t, \forall x\in U$.
Необходимость: если функционал непрерывен, то он ограничен в некоторой окрестности нуля
$U$, т.е. существует
$t>0$ такое, что
$|f(x)|<t$. Обратно, пусть
$U$ есть окрестность нуля и
$f(x)\ne t$ для всех
$x\in U$. Хотел доказать, что это равносильно ограниченности функционала в
$U$ или в какой-нибудь другой окрестности нуля, и попытался сделать так: пусть
$x_0\in U\backslash \{0\}$ и
$f(x_0)\ne 0$. Тогда любой элемент
$x\in E$ можно представить в виде
$x=\alpha x_0+y, y\in \ker f$. И тогда для любого
$x\in U$ значение функционала
$f(x)=\alpha f(x_0)$. Итак, для каждого
$x\in U$ существует
$\alpha$. Обозначим через
$\alpha_m$ точную верхнюю грань всех значений
$|\alpha|$. Но во-первых, я не знаю, существует ли эта верхняя грань, во-вторых если даже существует, то выполняется ли условие
$|t|\ge \alpha_m$.. а в третьих, мне кажется, что доказать утверждение можно каким-нибудь другим более простым способом. Буду рад вашим комментариям.
