Всем привет. Не получается решить задание из учебника Колмогорова Фомина.
Пусть $E$ - линейное топологическое пространство. Доказать, что линейный функционал $f(x)$ на этом пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда существует такое открытое множество $U$ и такое число $t$, что $f(x) \ne t, \forall x\in U$.

Необходимость: если функционал непрерывен, то он ограничен в некоторой окрестности нуля $U$, т.е. существует $t>0$ такое, что $|f(x)|<t$. Обратно, пусть $U$ есть окрестность нуля и $f(x)\ne t$ для всех $x\in U$. Хотел доказать, что это равносильно ограниченности функционала в $U$ или в какой-нибудь другой окрестности нуля, и попытался сделать так: пусть $x_0\in U\backslash \{0\}$ и $f(x_0)\ne 0$. Тогда любой элемент $x\in E$ можно представить в виде $x=\alpha x_0+y, y\in \ker f$. И тогда для любого $x\in U$ значение функционала $f(x)=\alpha f(x_0)$. Итак, для каждого $x\in U$ существует $\alpha$. Обозначим через $\alpha_m$ точную верхнюю грань всех значений $|\alpha|$. Но во-первых, я не знаю, существует ли эта верхняя грань, во-вторых если даже существует, то выполняется ли условие $|t|\ge \alpha_m$.. а в третьих, мне кажется, что доказать утверждение можно каким-нибудь другим более простым способом. Буду рад вашим комментариям.