Упростил Колмогорова-Фомина?

Цитата

classicisme писал:
Господа, меня сильно смущает следующая вещь. В п. 6 пар. 4 гл. V (у меня издание 1981 г., с. 288) всеми любимой книги Колмгорова и Фомина приводится т. 7 о том, что если последовательность измеримых функций сходится почти всюду, то она сходится к тому же пределу и по мере. Далее приводится не очень сложное доказательство. Но, казалось бы, это утверждение ещё проще доказывается с помощью теоремы Егорова. В самом деле, что нужно доказать? Что $\forall \sigma>0$ и $\forall \epsilon>0$ $\exists N$ : $\forall n>N$ $\mu\{x \mid |f_n(x)-f(x)| \ge \sigma \} < \epsilon$. Итак, пусть нам заданы $\sigma$ и $\epsilon$. Сначала _по_$\epsilon$_ по теореме Егорова построим такое множество, мера дополнения которого меньше $\epsilon$, на котором функции $f_n(x)$ сходятся к $f(x)$ равномерно. Далее найдём такое $N$, после которого они отличаются от $f(x)$ не более чем на $\sigma$. Всё, поскольку оставшаяся часть множества имеет меру меньше $\epsilon$, требование $\mu\{x \mid |f_n(x)-f(x)| \ge \sigma \} < \epsilon$ автоматически выполнено. По-моему, это гораздо проще, чем предложенное в книге. Так в чём же я не прав? Очень сильно смущает, что автору не указали на такой простой путь доказательства.