Задача по планиметрии

Даны такие треугольники ABC и PQR, что вершина A треугольника ABC делит сторону QR пополам. Вершина P
делит сторону BC пополам. Прямая QR делит пополам угол BAC, а прямая BC делит пополам угол QPR. Докажите, что AB+AC=PQ+PR.

Я эту задачу решил, но некошерным методом: сперва векторной алгеброй, а потом пудовые формулы в программе символьных вычислений преобразовывал. Может кто сподобится нормальное решение написать?

У меня там в равенстве длины отрезков стоят, а не векторы |AB|+|AC|=|PQ|+|PR|. Я просто привык векторы стрелками обозначать или жирными буквами, раз не того ни другого нет то думал все понятно.

https://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=80098&st=0&sk=t&sd=a
там же я объяснил как я ее решал

Цитата
wrobel
https://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=80098&st=0&sk=t&sd=a
там же я объяснил как я ее решал

А там она откуда?
Просто по крайней мере на краевых случаях условие $AB + AC = PR + PQ$ не выполняется.

Цитата
wrobel
это что?

Если рассмотреть вырожденные треугольники $ABC$: $A(0, 0)$, $B(0, 1)$, $C(0, -1)$ и $PRQ$: $P(0, 0)$, $Q(-10, 0)$, $R(10, 0)$, то условие задачи выполнено, но соотношение $AB + AC = PR + PQ$ не наблюдается.

Цитата
wrobel
только не надо называть это "выполнением условий задачи", в задаче говорится о треугольниках.

Это вопрос вкуса. Обычно вырожденные случаи прекрасно подходят под общую логику задачи. Было бы интересно, посмотреть, на каком этапе Ваш векторный подход не проходит для этого вырожденного случая.

И все-таки повторю вопрос: где первоисточник этой задачи? Кажется, что чего-то в ней не хватает.

странная задача. вообще-то если рассматривать пример r-aax'а, то действительно в вырожденном случае равенство для сумм длин сторон не выполняется. но если рассматривать сумму векторов, то доказательство очевидно (AP - общая половина диагоналей соответствующих параллелограммов), но тогда к чему здесь нужны равенства для углов?

Предложу следующее решение без использования векторов.

1. Система координат. Введем систему координат следующим образом: поместим точку $A$ в начало координат ($A(0, 0)$). Точки $R$ и $Q$ расположим на оси $OX$ так, чтобы $A$ являлась серединой $RQ$ ($R(x, 0)$, $Q(-x, 0)$). Пусть точка $B$ лежит на луче $y = kx$ ($k > 0$), тогда она имеет координаты $B(t, kt)$. Так как $AR$ - биссектриса $\angle BAC$, то точка $C$ лежит на луче $y = -kx$, она имеет координаты $C(s, -ks)$. Точка $P$ - середина $BC$, ее координаты $P(\frac{t + s}{2}, \frac{k (t - s)}{2})$. Пусть также прямые $BC$ и $QR$ пересекаются в точке $N$.

2. Координаты точки $N$. Пусть через точки $B$ и $C$ проходит прямая. Зная координаты двух этих точек, нетрудно найти и уравнение этой прямой: $y = \frac{k (t + s)}{t - s}x - \frac{2 k t s}{t - s}$. Подставляя в это уравнение $y = 0$, найдем координаты точки $N$: $N(\frac{2 t s}{t + s}, 0)$.

3. Лемма. Если $\frac{x - a}{y - a} = \frac{x + a}{y + a}$ ($y \ne \pm a$), то $x = y$. Доказательство очевидно.

4. Свойство биссектрисы $PN$. Осталось воспользоваться последним условием задачи - $PN$ - биссектриса $\angle RPQ$. Это означает, что

$\frac{PR}{NR} = \frac{PQ}{NQ}$

Подставим выражения длин отрезков явно

$\frac{\sqrt{\left(\frac{t + s}{2} - x\right)^2 + \left(\frac{k (t - s)}{2}\right)^2}}{x - \frac{2 t s}{t + s}} = \frac{\sqrt{\left(\frac{t + s}{2} + x\right)^2 + \left(\frac{k (t - s)}{2}\right)^2}}{x + \frac{2 t s}{t + s}}$

домножим числители на $2$, а знаменатели на $t + s$, после чего возведем числители и знаменатели в квадрат и домножим числители на $t s$

$\frac{\left( \left(t + s - 2 x\right)^2 + k^2 \left(t - s\right)^2 \right) t s }{\left(x (t + s) - 2 t s\right)^2} = \frac{\left( \left(t + s + 2 x\right)^2 + k^2 \left(t - s\right)^2 \right) t s}{\left(x (t + s) + 2 t s\right)^2}$

Теперь заметим, что к приведенному соотношению применима Лемма из пункта 3 (при $a = 4 x t s (t + s)$), откуда незамедлительно следует:

$ts \left ( \left(t + s\right)^2 + 4x^2 + k^2\left(t - s\right)^2\right) = x^2 \left(t + s\right)^2 + 4t^2s^2$

из данного выражения можно выразить $x^2 = t s (1 + k^2)$

5. Соотношение сторон. Из предыдущего пункта можно заметить, что $x^2 = \frac{RQ^2}{4}$, а $t s (1 + k^2) = \sqrt{t^2 + k^2 t^2} \sqrt{s^2 + k^2 s^2} = AB \cdot AC$, откуда получаем $AB \cdot AC = \frac{RQ^2}{4}$. Аналогично выполняется другое соотношение $PR \cdot PQ = \frac{BC^2}{4}$.

6. Формулы для медиан $AP = PA$.

Для треугольников $ABC$ и $PRQ$ справедливы формулы для медиан:

$AP^2 = \frac{1}{2} \sqrt{2 AB^2 + 2 AC^2 - BC^2}$
$PA^2 = \frac{1}{2} \sqrt{2 PR^2 + 2 PQ^2 - RQ^2}$

откуда

$AB^2 + AC^2 - \frac{BC^2}{2} = PR^2 + PQ^2 - \frac{RQ^2}{2}$, что с учетом предыдущего пункта приводит к

$AB^2 + AC^2 - 2 PR \cdot PQ = PR^2 + PQ^2 - 2 AB \cdot AC$
$AB^2 + 2 AB \cdot AC + AC^2 = PR^2 + 2 PR \cdot PQ + PQ^2$
$\left(AB + AC\right)^2 = \left(PR + PQ\right)^2$
$AB + AC = PR + PQ$

P.S. Для вырожденных случаев решение не работает в части пунктов 2 и 3.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 27.06.2023 19:30.