Ошибочная параметризация Пифагоровых последовательностей.

На сегодняшний день, Пифагоровы четвёрки, как и большие n-наборы Пифагоровых чисел, рассматриваются в математике как потомки Пифагоровых троек, что логично и по сути верно.
То есть: входящие в набор элементы, подразумеваются как натуральные числа. И в геометрической интерпретации, это разумеется прямоугольные треугольники, длины сторон которых, выражены именно в натуральных величинах.

Однако, возможно в силу отсутствия в современной математике адекватного и универсального инструмента для сепарации ошибок от нормы, хотя бы очевидных, то такой отбор, происходит скорее спорадически, нежели регулярно.

Применительно к поднятой теме, к Пифагоровым четвёркам, по какой-то странной причине, причисляются вообще любые четвёрки натуральных чисел, где сумма квадратов первых трёх, равна квадрату четвёртого. Но если этого было достаточно дя троек, то для больших наборов, всё не так.

При ближайшем рассмотрении выясняется, что геометрические отображения таких наборов чисел на прямоугольные треугольники, тут же выявляет первую гипотенузу с ненатуральной величиной.

Известно, что Пифагорова тройка, геометрически – один треугольник, Пифагорова четвёрка – система уже из двух треугольников, где гипотенуза первого треугольника, служит первым катетом второму треугольнику.
Но к примеру – в арифметической четвёрке 1, 2, ,2 ,3, которая причислена наукой к Пифагоровой, первый катет – единица, второй катет – двойка, а вот гипотенуза между ними, никаким образом не натуральная.
Это обстоятельство, как в данной арифметической четвёрке, так и во многих других, не позволяет причислить её к Пифагоровой.

Я пока не нашёл в сети адекватного объяснения этой слишҡом уж явной ошибки, принятой вполне официально как норма.
Например в Википедии, в соответствующей статье, есть реальные ссылки на вполне легитимные научные работы, где утвержаются подобные вещи. Даже с привлечением кватернионов, то впрочем не добавляет истинности на самом деле.

Если предположить, что этакое правило принято по соглашению, как нередко бывает в науке, то вряд ли оно уместно, поскольку последовательность Пифагоровых четвёрок, где у треугольников все катеты и гипотенузы натуральные, известна, и каждая четвёрка, проверяма вполне тривиальными расчётами.

Так выглядят арифметические четвёрки, сегодня причисляемые наукой к Пифагоровым:

$(1,2,2,3), (2,3,6,7), (1,4,8,9), (4,4,7,9), (2,6,9,11), (6,6,7,11), (3,4,12,13), (2,5,14,15), (2, 10, 11, 15), (1,12,12,17), (8,9,12,17), (1,6,18,19), $
$(6,10,15,19),(4,5,20,21), (4,8,19,21) (4,13,16,21), (8,11,16,21), (3,6,22,23), (3,14,18,23), (6,13,18,23), (9, 12, 20, 25), (12, 15, 16, 25), (2,7,26,27),$
$(6,6,17,19),(2,10,25,27), (2,14,23,27), (7,14,22,27),(10,10,23,27), (3,16,24,29), (11,12,24,29), (12,16,21,29)$
Легко видеть и подсчитать, что большая часть из них, Пифагоровым не отвечают, в особенности, в геометрическом представлении.

А вот так выглядят именно Пифагоровы четвёрки, начиная с самой первой, и по порядку, без пропусков:

$(3, 4, 12, 13) ; (4, 3, 12, 13) ; (5, 12, 84, 85) ; (6, 8, 24, 26) ; (7, 24, 312, 313); (7, 24, 60, 65) ; (8, 15, 144, 145); (8, 6, 24, 26) ; (9, 40, 840, 841);$
$(9, 12, 112, 113) ; (9, 12, 36, 39) ; (9, 12, 20, 25); (9, 12, 8, 17)$ и так далее.

Проблема видится ещё в том, что вскоре нас обрадуют и фейковыми пятёрками, и шестёрками, и прочими наваленными в один массив наборами, так и выдавая их за Пифагоровы, по инерции. Предполагаю, что такие материалы, невзирая на их официальный статус, как минимум не годятся для учёбы.
Касались бы они неких неоднозначных и архисложных вещей – то ещё ладно, бывает. Ну ошиблись, ну потом лет через дцать поправили или вообще – опровергли. Но с такой элементарщиной, думаю ошибки плодить не следует.