Немогу понять преоброзование. Разложение дроби на простейшие

Автор темы aqfsefwefwef 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
30.07.2023 22:06
Немогу понять преоброзование. Разложение дроби на простейшие
$​ \sum_{n=9}^\infty \frac{2}{(n-6)(n-8)} = \{\frac{1}{n-6}\cdot\frac{1}{n-8}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n-8}-\frac{1}{n-6} )\}=\sum_{n=9}^\infty 2\cdot \frac{1}{2}(\frac{1}{n-8}-\frac{1}{n-6})$

Я вполне понимаю что дробь слева можно разложить с помощью A и B. Но не могу понять что за способ здесь был использован (выражение в скобках{..}). Прошу не ругаться, я в математике нуб.



Редактировалось 4 раз(а). Последний 31.07.2023 00:21.
31.07.2023 13:29
зачем?
Для чего в центре, фигурные скобки, объединяющие два равенства?



Редактировалось 1 раз(а). Последний 31.07.2023 13:32.
31.07.2023 13:30
Решение.
Это задача для 9-го класса:

$ \frac{1}{n-8} – \frac{1}{n-6} = \frac{n–6}{(n-6)(n-8)} – \frac{n–8}{(n-6)(n-8)} = \frac{n–6–n+8}{(n-6)(n-8)} = \frac{2}{(n-6)(n-8)} $
31.07.2023 13:56
Спасибо большое за ответ.
Суть тут немного в другом. Вы показали что
$\frac{1}{2}(\frac{1}{n-8} - \frac{1}{n-6})=\frac{2}{(n-6)(n-8)}$ – конечно правельно. Но вопрос у меня не доказать, что выражения равны. Пример этот и есть решение, точнее част решения, к которой у меня возник вопрос. Вопрос у меня к самому способу разбияния дроби.

другими словами это и есть решение, но для меня это не очевидно. Как из этого:
$\sum_{n=9}^\infty \frac{2}{(n-6)(n-8)}$
по средствам этого преоброзования:
$\frac{1}{n-6}\cdot\frac{1}{n-8} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n-8} - \frac{1}{n-6})$
получилось это:
$ \sum_{n=9}^\infty 2\cdot \frac{1}{2}(\frac{1}{n-8} - \frac{1}{n-6})$



Редактировалось 3 раз(а). Последний 31.07.2023 14:38.
31.07.2023 14:01
фигурные скобки
Цитата
7alek7
Для чего в центре, фигурные скобки, объединяющие два равенства?

В скобкам просто шаг, который объесняет как из выраженя слева получить выражения справа. Я думаю можно их игнорировать. Самое главное по середине.
31.07.2023 14:15
Один из способов решения, но это не суть вопроса.
$\frac{2}{(n-6)(n-8)}=\frac{A}{n-6}+\frac{B}{n-8}$
$\frac{2}{(n-6)(n-8)} \cdot (n-6)(n-8)=\frac{A}{n-6}+\frac{B}{n-8} \cdot (n-6)(n-8)$

$2=A(n-8)+B(n-6)$

n = 8, B = 1

n = 6, A = -1

=>

$-\frac{1}{n-6}+\frac{1}{n-8}$



Редактировалось 1 раз(а). Последний 31.07.2023 14:21.
31.07.2023 15:02
Равнозначное преобразование.
Цитата
aqfsefwefwef
Как из этого:

$\sum_{n=9}^\infty \frac{2}{(n-6)(n-8)}$

по средствам этого преоброзования,
получилось это:

$ \sum_{n=9}^\infty 2\cdot \frac{1}{2}(\frac{1}{n-8} - \frac{1}{n-6})$

Это равнозначное преобразование.
Разве нет?

$\frac{2}{(n-6)(n-8)} = \frac{1}{n-8} – \frac{1}{n-6} = 2 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{n-8} – \frac{1}{n-6})$
31.07.2023 15:10
Да, это равнозначно
Но фокус стоит на этом выражение. Я просто не понимаю этот шаг.

$​\frac{1}{n-6}\cdot\frac{1}{n-8} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n-8} - \frac{1}{n-6})$

Если решать тем спобом который я показал, то всё хорошо.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 31.07.2023 15:13.
31.07.2023 22:12
Преобразование.
У вас есть преобразование:

$\frac{2}{(n-6)(n-8)} = \frac{1}{n-8} – \frac{1}{n-6}$

Из этого следует:

$\frac{1}{(n-6)(n-8)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n-8} – \frac{1}{n-6})$

Вы согласны?
31.07.2023 22:34
С преоброзованием согласен
В целом да. Если автор решил всё решение прировнять к единице в числителе. Он в конце ставит выражение под сумму, и умножает на два. Это можно понять.
Но все ровно не понятно, как он сразу записал то что в скобках:
$(\frac{1}{n-8} - \frac{1}{n-6})$

как он к этому пришел, там же мог бы быть и плюс вместо минуса. Это похоже на какой-то приём на подобие пропорций.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 31.07.2023 22:38.
31.07.2023 22:46
Находчивость.
Авторы бывают разные, в том числе излишне "находчивые", имейте это ввиду.
У вас есть преобразование:

$\frac{2}{(n-6)(n-8)} = (\frac{1}{n-8} – \frac{1}{n-6})$

Больше ничего делать не надо.
Автор показал:

$\frac{2}{(n-6)(n-8)} = 2 \cdot \frac{1}{2}(\frac{1}{n-8} – \frac{1}{n-6})$

Цитата
aqfsefwefwef
Как он к этому пришел?
Опыт. Справочники. Примеры. Таблицы преобразований.
Есть много чего, что упрощает поиск таких решений.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 31.07.2023 22:52.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти