Вычисление длины спирали усеченного конуса

Рассмотрим задачу в цилиндрических координатах.
В проекции на плоскость Oxy радиус телепается между $r$ (верхнее основание) и $R$ (нижнее основание). Если шаг спирали $a$ считается по боковой поверхности конуса, то в проекции на плоскость Oxy он составит $x=\frac{a(R-r)}{\sqrt{4H^2+{(R-r)}^2}}$, где $H$ - высота конуса. Тогда радиус $\rho$ изменяется по закону $\rho\left(\phi\right)=r+\frac{\phi}{2\pi}x$, где $\phi$ варьирует от 0 до $\phi_{max}=\frac{2\pi}{x}\left(R-r\right)$. Абсцисса спирали изменяется по закону $h\left(\phi\right)=H\left(1-\frac{\phi}{\phi_{max}}\right)$. Тогда длину спирали можно найти по формуле: $L=\int_0^{\phi_{max}}{\sqrt{\left(r+\frac{\phi}{2\pi}x\right)^2+\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2+\left(\frac{H}{\phi_{max}}\right)^2}d\phi}$. Или, сделав замену переменной, $L=\frac{2\pi}{x}\int_r^R{\sqrt{t^2+\frac{x^2}{4\pi^2}\left(1+\frac{H^2}{\left(R-r\right)^2}\right)}dt}$.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 14.11.2023 11:53.