Геометрические построения в трисекции угла

Автор темы smthrsol 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
12.04.2024 12:33
Геометрические построения в трисекции угла
ОБ УСПЕШНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЯХ В ЗАДАЧЕ ТРИСЕКЦИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО УГЛА
Сергей Леонидович Михайлов
г. Заречный Пензенской области, Россия
smthrsol@internet.ru
_____________________________
© Михайлов С.Л., 2024.
Аннотация. Автором было получено геометрическое построение в площади произвольного равнобедренного треугольника, создающее соотношение углов 1:3, что позволяет получать трисекцию произвольного острого угла циркулем и линейкой без делений.

ABOUT THE SUCCESSFUL GEOMETRICALLY CONSTRUCTIONS IN TO THE THREE-SECTION PROBLEM TASK
Sergey L. Mikhailov
Zarechny, Penza region, Russia
smthrsol@internet.ru
Abstract. Author present hear the geometrically constructions in to the area of the isosceles triangle, which generate apply to 1:3 for angles there exactly.
Keywords: three-section of the arbitrary angle, isosceles triangle, apply to 1:3 for angles there exactly.

1. Завершая свои более чем трёхлетние «упражнения» в неразрешимой задаче трисекции произвольного угла, автор осмеливается здесь и всё же считает для себя возможным поделиться некоторыми итогами с данным уважаемым сообществом.
2. Поставим для начала простой уточняющий вопрос:
«Возможно ли геометрическое построение циркулем и линейкой без делений, в котором есть два угла, связанных прямо или косвенно соотношением своих величин как 1:3 в точности?». Сектор круга в 3/2 некоторого угла мы не берём – он бесперспективен, очевидно.
3. Пусть нам дан некоторый произвольный равнобедренный треугольник ΔBFC с острым вершинным углом ^BFC=2θ и основанием BC – Рис.1.


[IMG]https://s8d5.turboimg.net/t/100377285_2024-04-02_20-53-36_2.png[/IMG]
_____________________________
© Михайлов С.Л., 2024.

Рис.1.
Геометрическое построение, создающее углы, связанные между собою соотношением 1:3. Угол ^BFH = ^ABC/3 соответственно. Угол ^ABC=60⁰, угол ^BFH=20⁰, что успешно опровергает «абсолютную невозможность деления угла в 60⁰ натрое» кстати. Выполнено в полу-ручном режиме и не предназначено для точных измерений здесь.

4. Разделим боковую сторону BF пополам и из этой точки G восставим перпендикуляр до стороны BC – точка D там и построим равнобедренный треугольник ΔBDF с основанием BF и углами при нём равными 2θ соответственно. Исполнение элементов геометрических построений – [1] IV.A.
5. Этим образован и треугольник ΔBDС с углом ^BDС=4θ как внешним к треугольнику ΔBDF и с углом ^BСD=90⁰-θ в нём. Его третий угол ^DBC будет равен: 180⁰-4θ-(90⁰-θ) = 90⁰-3θ.
6. Если 3θ=β, то можно создать алгоритм точного решения трисекции β- угла (β- трисекции) геометрическим построением.
7. Чтобы верно разместить угол β, построим перпендикуляр к BD из B – прямая WW и угол ^DBW=90⁰. Затем из вершины B и от прямой WW
8. строим угол β, получая второй его луч BC и сам угол ^WBC=β=^ABC.
9. Переходя к применению выше изложенного, отметим, что априори мы имеем лишь угол ^ABC=β и не более того – Рис.2.

[IMG]https://s8d8.turboimg.net/t/100377300_2024-04-10_16-12-42_2.png[/IMG]
_____________________________
© Михайлов С.Л., 2024.
Рис.2.
Успешный пример применения предлагаемого автором алгоритма решения задачи трисекции произвольного острого угла циркулем и линейкой без делений. Исходный угол – угол ^ABC = β = 60⁰, угол ^BF₂H = β/3 = 20⁰ – ΔBF₂C соответственно. Выполнено в полу-ручном режиме и не предназначено для точных измерений здесь.

10. Продолжим луч AB за B получая прямую WW, и на луче BC фиксируем точку C, определяя этим отрезок BC. Делим BC пополам – точка H, из H строим перпендикуляр к BC во вне площади угла ^ABC,
прямая HH*.
11. Этим мы построили основание BC искомого равнобедренного треугольника и линию HH* его высоты к середине основания.
12. Из B построим перпендикуляр к прямой WW – луч BD* и угол ^D*BC=90⁰-β.
13. Искомый равнобедренный треугольник ΔBFC получим несколькими юстировками от априорно взятого F₀B для его боковой стороны. Cходимость юстировок именно к β- трисекции гарантирована линией HH* и лучом BD* очевидно. Количество юстировок уже не принципиально, оно зависит от «удачного» априорного приближения к точному итоговому построению.
14. Для этого поступаем следующим образом (Рис.2.):
– делим угол ^ABC=β на 8 равных частей тремя последовательными биссектрисами;
– от луча AB строим угол ^ABZ=5β/8;
– затем получаем его биссектрису BY и от неё проводим прямую, параллельную BY на расстоянии BH от BY. Она пересечёт BZ в точке X, образуя отрезок BX;
– принимаем за F₀B отрезок BX: BX= F₀B.
Это основано на том, что угол ^ABZ=5β/8<2β/3=6β/9 на величину 3β/72=β/24 соответственно, а угол ^BFC=2θ=2β/3 (Рис.1.). Поэтому начальное приближение BX всегда можно считать удачным.
15. Тогда из точек B и C проводим дуги F₀B до их пересечения на линии HH*, построив равнобедренный треугольник ΔF₀BС.
16. Делим сторону F₀B пополам – точка G₀ и из неё проводим перпендикуляр до F₀C стороны – точка L₀ и угол «невязок» ^L₀BD*=2δ₀.
17. Используя угол δ₀ от L₀B, второй его луч пересечёт F₀C в некоторой точке M₁, определяя отрезок BM₁.
18. Проводим теперь дугу ᵕBM₁(M₁) до пересечения с линией HH*, получая точку F₁ и треугольник ΔF₁BC. Далее повторяем наши действия по схеме п.14-16.
19. Построение успешно заканчивается, когда точка Mi окажется (неминуемо причём) на луче BD* также. Это и означает решение задачи β- трисекции острого угла ^ABC (п.2-5).
20. Для тупого β- угла перпендикуляр из точки G на Рис.1. не пересечёт сторону FC вообще, проходя правее вершины C треугольника ΔFBC вне его.
21. Это не ограничивает применение предлагаемого алгоритма – достаточно преобразовать исходный угол α к острому углу β посредством формулы β=α/2**n, где n=1,2, -1,-2, чего достаточно для любых углов диапазона (0⁰ – 360⁰). По получении результата для β- угла проводим обратное преобразование результата для α- угла.
22. Оптимальные технологически построения вручную получаются для β- углов в диапазоне 51⁰ – 84⁰. Для иных могут возникать проблемы при точном определении точек пересечения дуг или линий особенно для углов малой величины, что обходится таким преобразованием.
23. Для всех тестируемых острых углов оказалось достаточно проводить 1-3 юстировки для получения точной β- трисекции. Все действия во всех построениях предлагаемого автором алгоритма при работе вручную с циркулем и линейкой без делений следует проводить с максимально возможной точностью и аккуратностью и с остро заточенными грифелями инструментов.
24. В частности, если BC=BD – Рис.1., мы получаем тест для β=54⁰, так как тогда ΔBDC равнобедренный и потому углы при его основании DC равны: 90⁰-θ=4θ, 5θ=90⁰, θ=18⁰, 3θ=54⁰=β соответственно тогда. Геометрическое построение начинается с прямого угла ^DBA (Рис.1.), в составе которого ^ABC=β=54⁰ и ^DBC=36⁰. Фиксируем точку C, получая отрезок BC, и откладываем его по DC лучу, фиксируя D. Соединяя D с C, получим луч-отрезок DC, а построив перпендикуляр из C во вне, получим луч CC* и этим ^DCC*=θ=18⁰ тогда, что и решает точную β- трисекцию угла 54⁰ прямым геометрическим построением.
25. Если угол ^BDC=4θ=90⁰, θ=22.5⁰, 3θ=67.5⁰=β, то мы получаем ещё один аналогичный результат. Наверное, и продолжения тоже возможны.
26. Это доказательно создаёт углы-исключения помимо угла 90⁰, опровергающих собою «неразрешимость» трисекции угла посредством соответствующих геометрических построений циркулем и линейкой без делений. Реально этим мы имеем целое множество таких углов: 54⁰*2=108⁰, 54⁰/2=27⁰, 54⁰/4=13.5⁰, 90⁰/2=45⁰, 90⁰/4=22.5⁰, 67.5⁰, 135⁰ включая их линейные комбинации тоже.
27. Автором также были созданы ещё два алгоритма, позволяющие за 1-3 юстировки получать трисекцию острого угла с погрешностью не свыше 0.3⁰, но там нет гарантии точного решения как в рассмотренном алгоритме п.6 – 18 и потому они здесь не рассматриваются.
28. Далее мною готовится ещё одно сообщение о возникшем «в процессе упражнений в трисекции» объекте элементарной геометрии, хотя и известным издревле, но акцентированно не применяющимся. Мне же он принёс большую пользу и без него изложенное выше было бы просто невозможно. Этот «побочный результат» лично мне кажется не менее интересным, чем «основной», что, впрочем, относится к «классике жанра» при поисках решений сложных задач, как известно.
29. Идея данного алгоритма создана автором исключительно лично, также, как и вся работа выполнялась автором полностью самостоятельно и по своей собственной инициативе. Никаких обсуждений, советов, совещаний, консультаций и т.п. общения с кем-либо вообще по теме этого алгоритма мною никогда и нигде не проводилось совершенно.
30. Авторское право было мною зафиксировано за собою полностью и заранее.
31. Применение этого алгоритма в системах компьютерной графики возможно только после приобретения лицензии от автора.
Список литературы.
1.М.Я. Выгодский. "Справочник по элементарной математике" М., "Наука",1974, Изд. 23, 416с.
12.04.2024 16:01
ок
Уточните пожалуйста построение заканчивается через сколько действий (число действий) ?
12.04.2024 16:49
Геометрические
см.п.22, 23 - углы супер требовательны к качеству построений
12.04.2024 17:35
X
Чтобы сделать трисекцию циркулем и линейкой надо X число шагов.

Чему у вас равен X ?

Спросил только ведь это.
12.04.2024 21:33
Геометрические
что есть шаг в математике - определение?
13.04.2024 00:40
1-19
1 шаг - 1 действие.
Число шагов (действий) по вашему алгоритму конечно или конечно только до некоторой точности?
Если первое, то где именно ошибка в данном алгоритме пп 1 - 19 вы конечно нашли?
15.04.2024 13:21
Геометрические
Рис.1 - основа
15.04.2024 13:29
Геометрические
см. текст снова
15.04.2024 13:33
Геометрические
Рис.1. основа, углы 54 и 67.5 разрешимы точно, прочие 1-3 юстировки, тогда точно - чит текст !
15.04.2024 13:44
уточнение
Цитата
smthrsol
Рис.1. основа, углы 54 и 67.5 разрешимы точно, прочие 1-3 юстировки, тогда точно - чит текст !

Уточните, вы доказываете возможность трисекции циркулем и линейкой согласно древней задаче?
15.04.2024 15:08
Геометрические
ИМЕННО, чит снова моё сообщение от 12.04.24 !
16.04.2024 19:48
ок
Цитата
smthrsol
ИМЕННО, чит снова моё сообщение от 12.04.24 !

Пока еще не начал проверять сказанное, хотя интересно где ошибка, но есть важный вопрос.
Вы опровергаете доказательство невозможности такого построения, доказанное ранее математиками?
Ошибок нет у вас? хорошо проверяли?
18.04.2024 16:09
Геометрические
Проверяйте, отлично !
19.04.2024 17:54
.
Цитата
smthrsol
13. Искомый равнобедренный треугольник ΔBFC получим несколькими юстировками от априорно взятого F₀B для его боковой стороны. Cходимость юстировок именно к β- трисекции гарантирована линией HH* и лучом BD* очевидно. Количество юстировок уже не принципиально, оно зависит от «удачного» априорного приближения к точному итоговому построению.

Никакие юстировки и прочие выкрутасы, да еще с неизвестным количеством требуемых действий, к геометрическому построению с помощью циркуля и линейки отношения не имеют.

Очередное безуспешное упражнение зафиксировано.
23.04.2024 12:01
Геометрические
Уважаемый r-aax ! Дайте логику профессионала, Вам ранее присущую, а не эмоции ! Углы 54 и 67.5 - делятся натрое моим методом - СРАЗУ ЖЕ !!! ОЧЕВИДНО - дыра неразрешимости трисекции расширяется ! Ничего плохого в юстировках, как и в итерациях - нет = МАТЕМАТИКА !
23.04.2024 19:22
ошибка номер 1.
В описании указано следущее -

Исходный угол – угол ^ABC = β = 60⁰, угол ^BF₂H = β/3 = 20⁰ – ΔBF₂C соответственно.

С чего вы взяли что он должен быть таким?

По условию древней задачи он может быть любым!

Именно поэтому нет решения.
25.04.2024 18:41
.
Цитата
smthrsol
Ничего плохого в юстировках, как и в итерациях - нет = МАТЕМАТИКА !

1. В задачах на построение с помощью циркуля и линейки определен исчерпывающий список допустимых действий. Никаких юстировок в этом списке нет. Так что Ваш "метод" геометрическим построением с помощью циркуля и линейки не является.

2. Разделить угол на три равные части с помощью итерационного построения с любой заданной погрешностью может любой школьник. В задаче трисекции угла требуется разделить угол на три равные части за конечное число шагов.

Таким образом, Вы и задачу решаете не ту, и инструменты используете не те, и доказательством не утруждаетесь (слово "очевидно" доказательством не является).
25.04.2024 19:45
интересно
Подсмотрел все таки правила циркулем и линейкой.
Написано, дословно -

С помощью линейки нельзя проводить параллельные линии.

А зачем она нужна если можно это делать циркулем? Им то можно ? ИЛИ ТОЖЕ НЕТ? За ровно 6 действий на имеющейся прямой.

Видимо кто то специально пытался ограничить ограниченное....чтобы теперь кто нибудь помучался)))
27.04.2024 15:07
Геометрические
27.04.2024 20:37
также
Другой момент напрашивается.

Один раз растворив циркуль на какой-то произвольный угол (размер), надо сразу откладывать все эти размеры, то есть действиями подряд, ибо иначе вы никогда не сможете повторить этот же раствор циркуля (размер).

Также наверно циркулем нельзя переносить уже имеющиеся расстояния например между двумя точками, так как по вышеуказанной причине нельзя точно повторить данный размер на глаз.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти