Трисекция угла - прямое построение.

Автор темы smthrsol 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
13.06.2024 16:47
Трисекция угла - прямое построение.
Завершая свои более чем трёхлетние «упражнения» в неразрешимой задаче трисекции произвольного угла, автор осмеливается здесь и всё же считает для себя возможным поделиться некоторыми итогами с данным уважаемым сообществом. Поставим для начала простой уточняющий вопрос: «Возможно ли геометрическое построение циркулем и линейкой без делений, в котором есть два угла, связанных прямо или косвенно соотношением своих величин как 1:3 в точности?». Ответ - положителен! Сектор круга в 3/2 некоторого угла мы не берём – он бесперспективен, очевидно.
Пусть нам дан некоторый произвольный равнобедренный треугольник ΔBFC с острым вершинным углом ^BFC=2θ и основанием BC – Рис.1.

[IMG]https://s8d3.turboimg.net/t/102325028_2024-04-02_22-26-16_2.png[/IMG]

_____________________________
© Михайлов С.Л., 2024.
Рис.1.
Геометрическое построение, создающее углы, связанные между собою соотношением 1:3. Угол ^BFH = ^ABC/3 соответственно. Угол ^ABC=60⁰, угол ^BFH=20⁰, что успешно опровергает «абсолютную невозможность деления угла в 60⁰ натрое» кстати. Выполнено в полу-ручном режиме и не предназначено для точных измерений здесь.

Разделим боковую сторону BF пополам и из этой точки G восставим перпендикуляр до стороны BC – точка D там и построим равнобедренный треугольник ΔBDF с основанием BF и углами при нём равными 2θ соответственно. Исполнение элементов геометрических построений – [1] IV.A. Этим образован и треугольник ΔBDС, с углом ^BDС=4θ как внешним к треугольнику ΔBDF и с углом ^BСD=90⁰-θ в нём. Его третий угол ^DBC будет равен: 180⁰-4θ-(90⁰-θ) = 90⁰-3θ.Если 3θ=β, то можно создать алгоритм точного решения трисекции β- угла (β- трисекции) геометрическим построением. Чтобы верно разместить угол β, построим перпендикуляр к BD из B – прямая WW и угол ^DBW=90⁰. Затем из вершины B и от прямой WW строим угол β, получая второй его луч BC и сам угол ^WBC=β=^ABC.
В частности, если BC=BD – Рис.1., мы получаем тест для β=54⁰, так как тогда ΔBDC равнобедренный и потому углы при его основании DC равны: 90⁰-θ=4θ, 5θ=90⁰, θ=18⁰, 3θ=54⁰=β соответственно тогда. Геометрическое построение начинается с прямого угла ^DBA (Рис.1.), в составе которого ^ABC=β=54⁰ и ^DBC=36⁰. Фиксируем точку C, получая отрезок BC, и откладываем его по DC лучу, фиксируя D. Соединяя D с C, получим луч-отрезок DC, а построив перпендикуляр из C во вне, получим луч CC* и этим ^DCC*=θ=18⁰ тогда, что и решает точную β- трисекцию угла 54⁰ прямым геометрическим построением. Если же теперь угол ^BDC=4θ=90⁰, θ=22.5⁰, 3θ=67.5⁰=β, то мы получаем ещё один аналогичный результат. Наверное, и продолжения тоже возможны. Это доказательно создаёт углы-исключения в 54⁰ и 67.5⁰ помимо угла 90⁰, опровергающих собою «неразрешимость» трисекции угла посредством соответствующих геометрических построений циркулем и линейкой без делений. Реально этим мы имеем целое множество таких углов: 54⁰*2=108⁰, 54⁰/2=27⁰, 54⁰/4=13.5⁰, 90⁰/2=45⁰, 90⁰/4=22.5⁰, 67.5⁰, 135⁰ включая их линейные комбинации тоже.
Теперь рассмотрим другой алгоритм, позволяющий решать трисекцию произвольного угла циркулем и линейкой без делений. Автором полностью самостоятельно получен новый интересный вариант – Рис.2. – который не требует никаких априорных или дополнительных построений с углами, или юстировок и т.п.
[IMG]https://s8d4.turboimg.net/t/102323726_2024-05-30_14-26-39_2.png[/IMG]

_____________________________
© Михайлов С.Л., 2024.
Рис.2.
Успешное деление «совершенно неразделимого натрое угла 60⁰» посредством метода «r- полос» не только на три, но и на 6 равных частей.
Выполнено в полу- ручном режиме с использованием комплекса программ Inscape (бесплатная версия). Величины полученных в итоге 6 равных углов – лучей, следующих вверх от луча BC исходного угла ^ABC=60.01⁰ – согласно строке – комментарию Inscape – соответственно: 1)10.03⁰; 2)19.98⁰; 3)30.06⁰; 4)39.96⁰; 5)49.98⁰; 6)60.01⁰. Как видим, максимальное отклонение здесь не превышает 0.06⁰!

1. Имея исходный угол ^ABC, возьмём произвольный небольшой отрезок длины r, и в площади нашего угла построим прямые, параллельные лучам угла и его биссектрисе, отстоящие от них на величину r.
2. Далее для краткости они называются «r- полоса».
3. Аналогично вдоль лучей угла строим ещё по r- полосе от предыдущих и получим там по две равных полосы (на Рис.2. полосы (a2) и (c2) соответственно).
4. В пересечении полос имеем точки F и G соответственно. Соединяя их отрезком прямой, фиксируем середину отрезка FG – и точку D этим также.
5. Из D проводим 2r- дуги до пересечения с полосами (a1) и (c1) этим образуя точки M и S и отрезки MD=2r=SD, BM и BS и углы: ^ABM=^SBC=^ABC/6.
6. Разделив MD и SD пополам, получим ещё два луча двух углов и этим в итоге завершая деление угла ^ABC на 6 равных частей.
7. Дуга ᵕBD(B), соединяя лучи исходного угла, подтверждает наше построение.
8. Этот алгоритм был успешно тестирован автором на множестве углов в диапазоне 48 – 84 градуса с аналогичными результатами.
9. Авторское право было зафиксировано автором полностью за собою заранее.
10. Сообщение носит предварительный характер.

Список литературы.
1.М.Я. Выгодский. "Справочник по элементарной математике" М., "Наука",1974, Изд. 23, 416с.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти