R-полоса – упущенный объект элементарной геометрии

Как известно из истории научного поиска, порою некий побочный результат его со временем становится ценнее, нежели основной. Автор, получив своё успешное построение для решения задачи трисекции произвольного угла [1], и завершая свои более чем трёхлетние упражнения в «неразрешимой» трисекции произвольного угла, считает полезным изложить здесь именно такого сорта «побочный результат».
[IMG]https://s8d3.turboimg.net/t/102552690_2024-06-21_17-13-28_2.png[/IMG]
_____________________________
© Михайлов С.Л., 2024.
1. Далее используется простейший объект элементарной геометрии, называемый автором «r- полоса» и определяемый как часть плоскости вместе с двумя параллельными прямыми с расстоянием r между ними. Уже существующая прямая далее называется исходной, а создаваемая – граничной. Объект издревле известен в элементарной геометрии, но видимо широко не использовался так, как здесь предлагается автором – мне лично об этом совершенно не было известно что-либо ранее.
2. Для обозначения r- полосы на графиках автор предлагает квантор (r), для окружности радиуса r с центром в точке O в тексте: ((r – O)), для полуокружности с центром справа – с одной первой скобкой вместо двух: (r – O)), слева наоборот ((r – O). Отдельные известные построения – шаги, описываемые далее см [2].
3. Начнём с простой внешне задачи – вписать полуокружность некоторого произвольного радиуса в угол произвольной величины с выбором стороны касания – Рис.1.1. Центр полуокружности находится на одном луче угла, а точка касания – на другом, выбранном априори. Для решения создаём r- полосу, проводя прямую параллельно выбранному лучу касания (исходная прямая). Граничная прямая пересекает другой луч угла в некоторой точке O, это и есть центр нашей полуокружности.

_____________________________
© Михайлов С.Л., 2024.
Рис.1.1. – 1.6.
Примеры касаний окружностей и полуокружностей с лучами произвольного угла (^BAC=60⁰). Примеры применения упущенного объекта элементарной геометрии «r- полоса».
Рисунки 1 – 3 выполнялись в графической системе Inkscape, бесплатная версия, в полу-ручном режиме, носят демонстрационный характер и не предназначены для точных измерений по ним здесь.

4. Вписать окружность произвольного радиуса r в угол произвольной величины – Рис.1.2. Теперь мы проводим две r- полосы и центр окружности – в точке их пересечения, лежащей кстати на биссектрисе этого угла.
5. Окружность радиуса r₂, касающаяся полуокружности радиуса r₁ – Рис.1.3. – мы должны вписать в произвольный угол так, чтобы диаметр полуокружности cовпал с выбранным лучом. Тогда сначала – это случай п.1 для полуокружности (r₁-О₁)). Затем строим параллельно полосе r₁ полосу r₂ с той же исходной прямой и из О₁ проводим отметку на r₂ дугой радиуса R=r₁+r₂ – это и есть центр O₂ для ((r₂-О₂)).
6. Случай, когда касания будут на разных лучах, реализуется, если полоса r₂ проводится вдоль другого луча, чем полоса r₁ – Рис.1.4.
7. Касание окружностей разных радиусов, вписанных в произвольный угол вдоль общего для них луча касания AC угла ^BAC – Рис.1.5. Сначала вписываем в угол окружность ((r₁-О₁)) – п.4. Затем строим ещё r₂- полосу вдоль заданного луча как исходной прямой для неё. Строим отрезок R=r₁+r₂ и вращаем в площади угла из центра вращения в O₁ пока он не пересечёт r₂- полосу, создавая точку O₂. В этой точке строим окружность ((r₂ – O₂)).
8. В произвольный угол вписать две окружности одного радиуса r так, чтобы они касались также и друг друга – Рис.1.6. Сначала построение аналогично 1.2. Получив точку пересечения граничных прямых – проводим из вершины угла через неё прямую – это биссектриса угла – BD, и параллельно ей проводим ещё по r- полосе по обе стороны от неё. В точках их пересечения c ранее построенными r- полосами – строим окружности радиуса r, обязательно касающиеся между собой на биссектрисе.
9. Случай, когда две разные окружности, касаясь друг друга, касаются разных лучей общего угла ^ABC – Рис.2.1. Сначала строим биссектрису угла BD и в любую половину вписываем окружность ((r₁-О₁)) – как в 1.2. Затем вдоль другого луча проводим r₂- полосу. Строим отрезок R=r₁+r₂ и вращаем в площади угла (центр вращения в O₁) пока он не пересечёт r₂- полосу, создавая точку O₂. В этой точке строим окружность ((r₂ – O₂)).

[IMG]https://s8d3.turboimg.net/t/102552691_2024-06-21_17-01-21_2.png[/IMG]

Рис.2.
Примеры касаний окружностей и полуокружностей с лучами произвольного угла (^ABC=72⁰). Рис.2.1. – 2.4. слева направо и сверху вниз соответственно. Примеры применения упущенного объекта элементарной геометрии «r- полоса».

10. Второй вариант этого – Рис.2.2. Сначала строим полосы (r₁) и (r₂) от лучей угла ^ABC – и получаем точку их пересечения G и угол ^FGL равный данному. Причём он смещён относительно угла ^ABC вправо. Затем, построив его биссектрису, проводим ρ- полосы, где ρ=(r₁+r₂)/2, пересекающиеся с (r₁) и (r₂) в точках-центрах O₁ и O₂ соответственно окружностей ((r₁-О₁)) и ((r₂-О₂)). Отрезок касания O₁O₂=2ρ=r₁+r₂, как и требуется.
11. Три равные окружности с попарным касанием вписаны в произвольный угол – Рис.2.3. Построение аналог п.8, но полосы шириной 3r. Дальние граничные прямые в пересечении дают центр для ((r – O₂)) окружности. Перпендикуляры из него есть линии касания с соседними r- окружностями. Решением трисекции произвольного угла это построение не является, т.к. ((r – O₂)) находится дальше от вершины B угла ^ABC, чем соседние.
12. Все три окружности разных радиусов – Рис.2.4. – тогда строим полосы (r₁) и (r₃) от разных лучей ^ABC, и от (r₃) строим ещё полосу (r₃+ r₂). В пересечении её граничной прямой с граничной прямой полосы (r₁) получаем точку G и угол ^FGL=^ABC соответственно. Далее действуем по схеме п. 9 или 10, проводя построение касания окружностей ((r₁-О₁)) и ((r₂-О₂)) между собой и с лучами угла ^FGL соответственно. Теперь из центра О₂ проводим перпендикуляр до граничной прямой полосы (r₃) и так получая центр O₃, и строим окружность ((r₃-О₃)), успешно завершая это построение.
13. Построение для трисекции произвольного угла как завершающий пример – Рис.3. – описание см в [1].

[IMG]https://s8d4.turboimg.net/t/102323726_2024-05-30_14-26-39_2.png[/IMG]
_____________________________
© Михайлов С.Л., 2024.

Рис.3.
Успешное построение трисекции угла ^ABC=60. Метод r- полос. Подробное описание в [1].

14. Заключение. Таким образом, выше описанное применение простейшего объекта элементарной геометрии, называемого автором «r- полоса», показывает его высокую эффективность в задачах касания разных окружностей (и аналогичных и т.п. объектов также), расположенных внутри произвольного угла. Это позволяет рекомендовать «r- полосу» к широкому практическому применению.
15. Данная работа выполнена автором полностью по личной инициативе.
16. Авторское право было зафиксировано мною за собой заранее.
17. Для воплощения изложенных алгоритмов в цифровых системах необходима лицензия от автора.

Источники информации

1. Математический форум МГУ – www.mathforum.ru. «Высшая математика», «Трисекция угла – прямое построение», автор smthrsol, 13.06.2024 16:47.
2. М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. IV А. «Наука», М., 1974.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 23.06.2024 00:25.