Степени числа 12 в центре интриги Насти и Даши

Настя заявила Даше, что задумала натуральное число, у которого количество делителей, кратных трём, на 1 больше, чем количество делителей, кратных четырём.

«Тогда ты наверняка задумала либо число 3, либо степень числа 12 с натуральным показателем», — ответила Даша.

Насколько утверждение Даши является математически обоснованным?

-----------------------------------------------------

И не ракета орлиная Таню берегла, и дни лежат в небе тем лесом.

Наш Вася Тараканечкин променял-таки Кацечку на Тацечку (Кацечка и Тацечка — это общеславянские ласкательные варианты имён Екатерина и Татьяна (Тетяна) соответственно).

Пусть число представляется в виде a=2^m*3^n*b
Число делителей кратных 3 это n*(m+1)*d(b)
Число делителей кратных 4 это (m-1)*(n+1)*d(b)
Если d(b)>1, то, очевидно, на 1 числа делителей отличаться не могут.
Значит
n(m+1)=(m-1)(n+1)+1
2n=m
a=2^(2n)*3^n=12^n
Ну и 3 - случай m=0