Метод сдвоенных окр

ТРИСЕКЦИЯ УГЛА: РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ СДВОЕННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДА r- ПОЛОС В ПРЯМОМ ПОСТРОЕНИИ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ БЕЗ ДЕЛЕНИЙ
Михайлов Сергей Леонидович
smthrsol@internet.ru
Помимо метода r- полос [1] для решения «неразрешимой» задачи трисекции угла ранее, автор предлагает здесь другой метод её решения. По-видимому, моё сообщение [2] о разрешимости трисекции угла вопреки «доказательству П.Ванцеля» также обретает большее звучание тогда. Отдельные частные построения и вспомогательные алгоритмы – см. [3].
Метод сдвоенных равных окружностей, имеющих один общий радиус между собою, был предложен автором в сообщении [1], но детально он разработан недавно и освещается здесь впервые. На Рис.1. частично представлена его рабочая левая половина Рис.1 из [4]. Далее используется введённый ранее автором объект «r- полоса» [4], представляющий часть плоскости совокупно с двумя ограничивающими параллельными прямыми на расстоянии r между ними. Эти прямые – издревле в геометрии, но их именно такое акцентированное применение, по-моему, ранее не использовалось, но оказалось весьма эффективным. Имеющаяся уже прямая называется исходной, а построенная параллельно ей на расстоянии r от неё граничной.
1. Пусть нам дан произвольный острый угол ^AZO=α – Рис.1. – и, используя луч ZO как исходную прямую, построим ниже него r- полосу для произвольного r и продолжим луч AZ до граничной прямой, получая в пересечении с нею точку B, луч BC, совпадающий с граничной прямой, и угол ^ABC=α в итоге этого.
2. На луче ZO отложим отрезок r дважды, получая точку O, радиус-отрезок ZO=2r и радиус r также. Затем от луча ZO и из точки O как из центра, строим два концентрических рабочих сектора в четверть окружности радиусами r и 2r соответственно. Нормаль к ZO из точки O пересекает луч BC в точке C, фиксируя её таким образом и перпендикулярна BC.
3. Сектор окружности радиуса 2r – квантор (2r – O)) пересекает луч AB в некоторой точке A, фиксируя её этим на рисунке. Отрезок BC по сути есть одна касательная к полуокружности (r – O) в точке C. Построим вторую касательную, проводя дугу радиуса BC из вершины B до рабочего сектора (r – O)) к получаемой этим точке D.
4. Отрезок прямой DO- нормаль продолжаем до сектора (2r – O)) и в их пересечении получим точку F. Этим нами построены вторая касательная BD и нормаль к ней OF длиной 2r естественно.
5. Проведя прямую через точку F параллельно лучу AB получим точку G и угол ^FGC=^ABC=α, т.е. сдвинем исходный угол в его новое положение.
6. Далее повторяем часть алгоритма: строим из вершины G вторую касательную к (r – O)) – точка L и отрезок OM- нормали к касательной GL (OM=2r), проходящий через среднюю точку L также. Затем следует исполнить п.5 получив точку N на прямой BC и угол ^MNC=^ABC=α.
7. В общем случае, повторение алгоритма прекращается, когда две 2r- нормали, построенные последовательно, совпадают (т.е. по положению своему OM совпала бы с OF, например, что далее используется для иллюстрации алгоритма как допускаемый здесь факт).
[IMG]https://s8d3.turboimg.net/t/107261662_2024-11-29_19-26-02_2.png[/IMG] Рис.1. "Сдвоенные окр..."
Image
Рис.1.
Трисекция «совершенно неделимого» угла 60°.
Выполнялось в полу-ручном режиме и не предназначено для точных измерений по нему здесь, носит демонстрационный характер. Система Inkscape, б/пл версия.

8. Совпадение этих двух нормалей означает и совпадение их крайних точек на дуге сектора (2r – O)), которые сами определяют положение двух α- углов, так как крайние точки нормалей есть точки лучей этих двух α- углов также.
9. Это означает и совпадение соответствующих им углов и по величине, и по положению на рисунке, т.е. угол ^FGC совпал бы с углом ^MNC тогда. Значит корректировка положения исходного α- угла нами успешно завершена была бы в таком случае.
10. Соединив точку N с центром O и с точкой L, получим углы ^ONC=^ONL=^LNM=α/3.
Это верно, так как соответствующие этим углам прямоугольные треугольники равны: ΔONC=ΔONL по равным r катетам и общей гипотенузе NO очевидно, а ΔONL=ΔLNM по своим катетам соответственно.
11. Что также означает равенство гипотенуз NO=MN и потому объединённый треугольник ΔMNO равнобедренный с основанием OM=2r соответственно, причём он сам составлен из двух равных прямоугольных треугольников.
12. Возвращаясь к методу двух сдвоенных окружностей, видим, что их радиусы должны быть тогда равны 2r, а величина угла, подлежащего трисекции там, равна 2α соответственно и потому его треть есть 2*α/3=2α/3.
13. Комментарий автора. Начиная с позиционирования угла ^AZO=α на прямой ZO, мы, построив рабочий угол ^ABC=α посредством r- полосы, получаем относительно удачное его положение для использования затем двух секторов радиусов r и 2r. Этим решена проблема априорного, произвольного положения α- угла до проведения трисекции. Далее работаем с 2r- нормалями ко вторым касательным к полуокружности (r – O) в сущности. Они и определяют корректировку положения вершины B рабочего угла ^ABC=α к положению как вершины N в результате и к углу ^MNC=^ABC=α в итоге. В начале отрезки AB и BO не равны (чему иллюстрация – прохождение 2r- нормали OF мимо точки A – в точку F). Для решения трисекции нам нужно их равенство, что достигается успешно здесь далее: гипотенузы NO=MN. Практически этот алгоритм реализуется чаще всего именно в форме двух юстировок к точному результату, так как дальнейшая третья юстировка чаще всего уже невозможна, ибо погрешности уходят в толщину линий, хотя они были у автора не более толщины волоса при тестировании. Сама задача трисекции была сформулирована в древности, в эпоху «геометрии на песке» у Архимеда и т.п. с иным понятием о точности. Аутентичность древней задачи и метода решения её по части точности сегодня – разве соответствуют? К тому же построение вручную естественно объявляется точным, когда погрешность решения не превосходит общепризнанных 0.5 градуса, как допустимой, что и достигнуто автором. Желающие могут «вооружиться» и проверить всё изложенное здесь своими руками и чертежами, успехов им в этом!
14. Тестирование этого алгоритма построениями циркулем и линейкой без делений вручную показало отличные результаты, по величине абсолютных отклонений от α/3 не превосходящие 0.1° – 0.3° градуса всегда для рисунков площадью в ¼ листа формата А4 в диапазоне углов 42° – 84° градуса. Важно аккуратное позиционирование инструментов и проведение всех линий толщиной не шире волоса всюду. Для угла 68° трисекция оказалась исполнена сразу же, на первом шаге алгоритма.
15. Данный алгоритм был разработан автором по своей личной инициативе и полностью самостоятельно и без консультаций или обсуждений с кем-либо. Авторское право было мною зафиксировано за собою заранее. Реализация в виде компьютерных программ и т.п. требует необходимой лицензии от автора.

Источники информации

1. Математический форум МГУ – www.mathforum.ru. «Высшая математика», «Трисекция угла – прямое построение», автор smthrsol, 13.06.2024 16:47.
2. Сообщение автора(smthrsol) на MathForum.Ru – Высшая математика 27.04.24 20.58.
3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, М «Наука», 1974,416 с.
4. Сообщение автора(smthrsol) на MathForum.Ru – Высшая математика 22.06.24 18.58.

Друг! Суть именно в использовании исключительно простого циркуля и обычной линейки без делений !!

Иначе - простой транспортир - и готово, причём без кучи брусков, пружин и т.п. !

Решение признанного неразрешимым 3000 лет - вот в чём фишка, сделать то,

что не смогли многие - от Архимеда до Эйлера, Ванцеля и т.п. известных !

Цитата
smthrsol
Друг! Суть именно в использовании исключительно простого циркуля и обычной линейки без делений !!

Иначе - простой транспортир - и готово, причём без кучи брусков, пружин и т.п. !

Решение признанного неразрешимым 3000 лет - вот в чём фишка, сделать то,

что не смогли многие - от Архимеда до Эйлера, Ванцеля и т.п. известных !

Нельзя прямой линией разделить плоскость на 3 равные части, также и никаким количеством (2^n) прямых то же самое, а значит и нельзя построить 3 секцию.
В задаче надо использовать прямую линию (линейку), а отсюда все и вытекает, то есть возможность построить 2-секцию является невозможностью построить 3-секцию, так как у 2 (2^n) и 3 нету общих кратных.
Нельзя двойками получить тройки.

Теперь насчет брусков (набора линеек) и циркуля. Этим я быстрее построю чем вы вашим методом. Меньше действий.

Не ясно, какое практическое назначение задачи в вашем виде вы видите? Раз ее решаете методом приближения до некой ошибки.
Должно быть оправдано такое старание.