Разложение числа
$720$ на простые сомножители будет
$720=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5$. Поэтому, при любом разбиении
$120$ на натуральные слагаемые при условии, что их произведение равно
$720$, число слагаемых не равных
$1$ не превосходит
$7$. Для полного решения проблемы мы просто генерируем все возможные разложения числа
$720$ на натуральные множители больше
$1$ и меньшие
$120$. Для этого использовал свою старую прогу, подробности по ссылке
https://mapleprimes.com/posts/141668-Partitions-Of-A-Natural-Number-Into-Factors. Оказывается число таких разложений не столь велико, оно равно
$90$. Ниже - полный список всех разложений, отсортированный по числу разбиений числа
$120$ (конечно, с учётом добавленных единиц).
Каждое решение представлено списком, в котором первый элемент - число разбиений
$120$ на натуральные слагаемые с учётом единиц, второй элемент - список слагаемых больших
$1$. Видим, что наименьшее числа слагаемых
$n=24$, затем
$n=27$ и так далее.
[24, [8, 90]], [27, [2, 4, 90]], [28, [2, 2, 2, 90]], [33, [9, 80]], [37, [3, 3, 80]], [40, [10, 72]], [44, [2, 5, 72]], [50, [12, 60]], [55, [2, 6, 60]], [56, [3, 4, 60]], [57, [2, 2, 3, 60]], [59, [15, 48]], [61, [16, 45]], [64, [18, 40]], [66, [20, 36]], [67, [3, 5, 48]], [68, [24, 30]], [68, [2, 8, 45]], [70, [4, 4, 45]], [71, [2, 2, 4, 45]], [72, [2, 9, 40]], [72, [2, 2, 2, 2, 45]], [74, [3, 6, 40]], [75, [2, 10, 36]], [76, [2, 3, 3, 40]], [78, [4, 5, 36]], [79, [2, 12, 30]], [79, [2, 2, 5, 36]], [82, [2, 15, 24]], [82, [3, 8, 30]], [83, [2, 18, 20]], [83, [4, 6, 30]], [84, [2, 2, 6, 30]], [85, [2, 3, 4, 30]], [86, [3, 10, 24]], [86, [2, 2, 2, 3, 30]], [88, [3, 12, 20]], [88, [5, 6, 24]], [89, [3, 15, 16]], [90, [4, 9, 20]], [90, [2, 3, 5, 24]], [91, [4, 10, 18]], [91, [6, 6, 20]], [91, [2, 2, 9, 20]], [92, [4, 12, 15]], [92, [5, 8, 18]], [92, [2, 2, 10, 18]], [93, [5, 9, 16]], [93, [2, 2, 12, 15]], [93, [2, 3, 6, 20]], [94, [5, 12, 12]], [94, [6, 8, 15]], [94, [3, 3, 4, 20]], [95, [6, 10, 12]], [95, [2, 4, 5, 18]], [95, [2, 2, 3, 3, 20]], [96, [8, 9, 10]], [96, [2, 3, 8, 15]], [96, [2, 2, 2, 5, 18]], [97, [2, 3, 10, 12]], [97, [2, 4, 6, 15]], [97, [3, 3, 5, 16]], [98, [3, 4, 4, 15]], [98, [2, 2, 2, 6, 15]], [99, [2, 4, 9, 10]], [99, [2, 5, 6, 12]], [99, [2, 2, 3, 4, 15]], [100, [2, 5, 8, 9]], [100, [2, 6, 6, 10]], [100, [3, 3, 8, 10]], [100, [3, 4, 5, 12]], [100, [2, 2, 2, 9, 10]], [100, [2, 2, 2, 2, 3, 15]], [101, [3, 4, 6, 10]], [101, [2, 2, 3, 5, 12]], [102, [3, 5, 6, 8]], [102, [4, 4, 5, 9]], [102, [2, 2, 3, 6, 10]], [103, [4, 5, 6, 6]], [103, [2, 2, 4, 5, 9]], [103, [2, 3, 3, 4, 10]], [104, [2, 2, 5, 6, 6]], [104, [2, 3, 3, 5, 8]], [104, [2, 2, 2, 2, 5, 9]], [104, [2, 2, 2, 3, 3, 10]], [105, [2, 3, 4, 5, 6]], [106, [3, 3, 4, 4, 5]], [106, [2, 2, 2, 3, 5, 6]], [107, [2, 2, 3, 3, 4, 5]], [108, [2, 2, 2, 2, 3, 3, 5]]
