О распределении пар‑близнецов, не делящихся на первые n простых чисел

О распределении пар‑близнецов, не делящихся на первые n простых чисел

В этой работе предлагается метод подсчёта и анализа пар чисел‑близнецов вида (R, R + 2), которые не делятся ни на одно из первых n простых чисел (Р1; Р2; Р3; … Рn), где Р1 = 2. Основная идея — использовать периодичность условий делимости и разбиение числовой оси на интервалы длины L = Pₙ₋₁×Pₙ.

Пусть (Р1; Р2; Р3; … Рn), где Р1 = 2 – это n простых чисел, которые идут друг за другом, тогда число (1) не делится ни на одно из данных простых чисел.

A1×Р1×Р2×…Рn/Р1 ± A2×Р1×Р2×…Рn /Р2 ± … ± An×Р1×Р2×…Рn /Рn, (1)

где:
A1 не делится на Р1;
A2 не делится на Р2;
…
An не делится на Рn.

Доказательство: каждое простое число (Р1; Р2; Р3; … Рn) делит все слагаемые числа (1) кроме одного, именно поэтому число (1) не делится на простые числа (Р1; Р2; Р3; … Рn).■

Пример:
Пусть имеются простые числа (2, 3, 5, 7), тогда число
3 × (2 × 3 × 5 × 7/2) + 2 × (2 × 3 × 5 × 7/3) – 11 × (2 × 3 × 5 × 7/5) + 17 × (2 × 3 × 5 × 7/7) = 315 + 140 – 462 + 510 = 503 не делится на 2, 3, 5, 7.

Если число (1) по модулю меньше Рn2 и не равно единице, тогда оно простое.

Как известно, если НОД (Q1; Q2; Q3; … Qn) = 1, тогда существуют такие числа (k1; k2; k3; … kn), при которых возможно следующее равенство:

k1 × Q1 ± k2 × Q2 ± k3 × Q3 ± … ± kn × Qn = 1.

НОД (Р1×Р2×…Рn/Р1; Р1×Р2×…Рn/Р2; … ;Р1×Р2×…Рn/Рn) = 1, следовательно, существуют такие (A1; A 2; A 3; … An), при которых число (1) равно 1.

Пусть имеется следующее:
1. A1×Р1×Р2×…Рn /Р1 ± A2×Р1×Р2×…Рn /Р2 ± … ± An×Р1×Р2×…Рn /Рn = 1;
2. B1 не делится на Р1, B2 не делится на Р2, B3 не делится на Р3, … , Bn не делится на Рn;
3. C1 не делится на Р1, C2 не делится на Р2, C3 не делится на Р3, … , Cn не делится на Рn;
4. B1 – C1 = m, B2 – C2 = m, B3 – C3 = m, … , Bn – Cn = m;
тогда разница между следующими числами (2) и (3) равна m.

B1×A1×Р1×Р2×…Рn /Р1 ± B2×A2×Р1×Р2×…Рn /Р2 ± … ± Bn×An×Р1×Р2×…Рn /Рn (2)

C1×A1×Р1×Р2×…Рn /Р1 ± C2×A2×Р1×Р2×…Рn /Р2 ± … ± Cn×An×Р1×Р2×…Рn /Рn (3)

Доказательство: разница между числами (2) и (3) равна
(B1 – C1)×A1×Р1×Р2×…Рn /Р1 ± (B2 – C2)×A2×Р1×Р2×…Рn /Р2 ± … ± (Bn – Cn)×An×Р1×Р2×…Рn /Рn = m × (A1×Р1×Р2×…Рn /Р1 ± A2×Р1×Р2×…Рn /Р2 ± … ± An×Р1×Р2×…Рn /Рn) = m.■

Например, существует бесконечно много чисел, которые отличаются друг от друга на 2 и при этом ни одно из них не делится на (Р1; Р2; Р3; … Рn). Если эти числа меньше Рn2, тогда это простые числа близнецы.

Пусть имеется следующее:
1. B1×A1×Р1×Р2×…Рn/Р1 ± B2×A2×Р1×Р2×…Рn/Р2 ± … ± Bn×An×Р1×Р2×…Рn/Рn = D1×Р1×Р2×…Рn + R1, где 0 < R1 < Р1×Р2×…Рn;
2. A1×Р1×Р2×…Рn /Р1 ± A2×Р1×Р2×…Рn /Р2 ± … ± An×Р1×Р2×…Рn /Рn = 1;
3. B1 не делится на Р1, B2 не делится на Р2, B3 не делится на Р3, … , Bn не делится на Рn;
тогда R1 не делится на (Р1; Р2; Р3; … Рn).
Доказательство: допустим, что R1 делится на (Р1; Р2; Р3; … Рn), тогда B1×A1×Р1×Р2×…Рn/Р1 ± B2×A2×Р1×Р2×…Рn/Р2 ± … ± Bn×An×Р1×Р2×…Рn/Рn делится на (Р1; Р2; Р3; … Рn), а это невозможно по определению данного числа.■

Пусть имеется следующее:
1. A1×Р1×Р2×…Рn /Р1 ± A2×Р1×Р2×…Рn /Р2 ± … ± An×Р1×Р2×…Рn /Рn = 1;
2. B1×A1×Р1×Р2×…Рn/Р1 ± B2×A2×Р1×Р2×…Рn/Р2 ± … ± Bn×An×Р1×Р2×…Рn/Рn = D1×Р1×Р2×…Рn + R1, где 0 < R1 < Р1×Р2×…Рn;
3. C1×A1×Р1×Р2×…Рn/Р1 ± C2×A2×Р1×Р2×…Рn/Р2 ± … ± Cn×An×Р1×Р2×…Рn/Рn = D2×Р1×Р2×…Рn + R2, где 0 < R2 < Р1×Р2×…Рn;
4. B1 не делится на Р1, B2 не делится на Р2, B3 не делится на Р3, … , Bn не делится на Рn;
5. C1 не делится на Р1, C2 не делится на Р2, C3 не делится на Р3, … , Cn не делится на Рn;
6. R1 = R2;
тогда B1 ≡ C1 (mod Р1); B2 ≡ C2 (mod Р2); … ; Bn ≡ Cn (mod Рn).
Доказательство: Если R1 = R2, тогда после преобразований получим следующее.
(B1–C1)×A1×Р1×Р2×…Рn/Р1 ± (B2–C2)×A2×Р1×Р2×…Рn/Р2 ± … ± (Bn–Cn)×An×Р1×Р2×…Рn/Рn = (D1–D2)×Р1×Р2×…Рn.
Следовательно, (B1–C1) делится на Р1; (B2–C2) делится на Р2; … ;(Bn–Cn) делится на Рn. Или по-другому B1 ≡ C1 (mod Р1); B2 ≡ C2 (mod Р2); … ; Bn ≡ Cn (mod Рn).■

Таким образом, получается, что если R1 ≠ R2, тогда невозможно одновременное выполнение условий: B1 ≡ C1 (mod Р1); B2 ≡ C2 (mod Р2); … ; Bn ≡ Cn (mod Рn).

Пусть имеется следующее:
1. A1×Р1×Р2×…Рn /Р1 ± A2×Р1×Р2×…Рn /Р2 ± … ± An×Р1×Р2×…Рn /Рn = 1;
2. B1×A1×Р1×Р2×…Рn/Р1 ± B2×A2×Р1×Р2×…Рn/Р2 ± … ± Bn×An×Р1×Р2×…Рn/Рn = D1×Р1×Р2×…Рn + R1, где 0 < R1 < Р1×Р2×…Рn;
3. B1 не делится на Р1, B2 не делится на Р2, B3 не делится на Р3, … , Bn не делится на Рn;
4. B1 ≡ a1 (mod Р1), где 0 < a1 < Р1; B2 ≡ a2 (mod Р2), где 0 < a2 < Р2; … ; Bn ≡ an (mod Рn), где 0 < an < Рn,
тогда на промежутке (0; Р1×Р2×…Рn) находится:
1. (Р1–1)×(Р2–1)×(Р3–1)×… (Рn–1) чисел не делящихся на (Р1; Р2; Р3; … Рn);
2. (Р1–1)×(Р2–2)×(Р3–2)×… (Рn–2) – 1 чисел не делящихся на (Р1; Р2; Р3; … Рn) и рядом с каждым из которых с разницей 2 находится одно число, которое также не делится на (Р1; Р2; Р3; … Рn).
Доказательство: в соответствии с правилами комбинаторики количество всевозможных различных между собой сравнений по модулю (Р1; Р2; Р3; … Рn) чисел (B1; B2; B3; … Bn) будет равно Р1×Р2×…Рn.
Для того чтобы число R1 не делилось на (Р1; Р2; Р3; … Рn) необходимо чтобы ни одно из чисел (B1; B2; B3; … Bn) не было сравнимо с 0 по модулю (Р1; Р2; Р3; … Рn), поэтому таких чисел в соответствии с правилами комбинаторики на промежутке (0; Р1×Р2×…Рn) будет (Р1–1)×(Р2–1)×(Р3–1)×… (Рn–1).
Для того чтобы число R1 не делилось на (Р1; Р2; Р3; … Рn) и рядом с которым с разницей 2 находилось одно число, которое также не делилось на (Р1; Р2; Р3; … Рn), необходимо чтобы ни одно из чисел (B1; B2; B3; … Bn) не было сравнимо с 0 и с 2 по модулю (Р1; Р2; Р3; … Рn), поэтому таких чисел в соответствии с правилами комбинаторики на промежутке (0; Р1×Р2×…Рn) будет (Р2–2)×(Р3–2)×… (Рn–2) – 1.
Из (Р2–2)×(Р3–2)×… (Рn–2) вычтена единица, т.к. исключена пара чисел (1; Р1×Р2×…Рn– 1), разница между которыми не равна 2.■

Пример № 1:
Имеется (2; 3; 5); 2×3×5 = 30 на промежутке (0, 30) находится:
1. (2 – 1)×(3 – 1)×(5 – 1) = 8 чисел не делящихся на (2; 3; 5), а именно (1; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29);
2. (3 – 2)×(5 – 2) – 1 = 2 числа не делящихся на (2; 3; 5) и рядом с каждым из которых с разницей 2 находится одно число, которое также не делится на (2; 3; 5), а именно (13; 19).

Пример № 2:
Имеется (2; 3; 5; 7); 2×3×5×7 = 210 на промежутке (0, 210) находится:
1. (2 – 1)×(3 – 1)×(5 – 1)×(7 – 1) = 48 чисел, не делящихся на (2; 3; 5; 7), а именно (1; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97; 101; 103; 107; 109; 113; 121; 127; 131; 137; 139; 143; 149; 151; 157; 163; 167; 169; 173; 179; 181; 187; 191; 193; 197; 199; 209);
2. (3 – 2)×(5 – 2)×(7 – 2) – 1 = 14 чисел, не делящихся на (2; 3; 5; 7) и рядом с каждым из которых с разницей 2 находится одно число, которое также не делится на (2; 3; 5; 7), а именно (13; 19; 31; 43; 61; 73; 103; 109; 139; 151; 169; 181; 193; 199).

Далее. Выделим интервал длиной (0, Рn-1×Рn). Количество интервалов с такой длиной на промежутке (0, Р1×Р2×… Рn) будет равно:

Q = Р1×Р2×… Рn/ Рn-1×Рn = Р1×Р2×… Рn-2;

Мое допущение состоит в том, что все числа, в том числе числа близнецы, которые не делятся на (Р1; Р2; Р3; … Рn) будут на этих интервалах распределены почти равномерно. Этого я доказать не могу. Вероятно, именно по этой причине эта работа не будет представлять большой ценности. А именно, количество близнецов на каждом интервале (0, Рn-1×Рn) будет примерно равно:

K ≈ [(Р1–1)×(Р2–2)×(Р3–2)×… (Рn–2) – 1]/ Q;

Так вот, если это так для любого n, тогда все числа близнецы на первом интервале (0, Рn-1×Рn) являются простыми, то есть на первом интервале находится примерно K простых чисел близнецов.