Удалось немного продвинуться в решении проблемы, но окончательное решение пока не просматривается.
Итак, предполагая, что подобное число является квадратом, получим некоторые его свойства, т.е. максимально сузим класс таких чисел. Очевидно, что в записи числа обязательно присутствуют по одной "2" и "7" и некоторое количество "1", причём само число обязательно оканчивается на "1", т.е. является квадратом нечётного числа. Далее воспользуемся известным свойством квадратов нечётных чисел (его легко доказать): при делении на 8 они должны давать 1 в остатке. Отсюда легко получить, что подобные числа могут оканчиваться только на 121 или на 721, т.е. иметь следующий вид
$...7...121$ или
$...721$, где многоточие означает некоторое (возможно равное 0) число единиц.
Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, нетрудно получить в замкнутом виде формулы для первого и второго случаев (
$n$ - число цифр числа,
$k$ - позиция "7" считая справа):
$N1=\frac{89}{9}+\frac{3\cdot10^k}{5}+\frac{10^n}{9}$ и
$N2=\frac{5489}{9}+\frac{10^n}{9}$ ,
где
$k\ge 4$ и
$n\ge k$ для первого случая и
$n\ge 4$ для второго случая
Таким образом задача сводится к решению диофантовых уравнений с учётом ограничений выше
$\frac{89}{9}+\frac{3\cdot10^k}{5}+\frac{10^n}{9}={(2m-1)}^2$ и
$\frac{5489}{9}+\frac{10^n}{9}={( 2m-1)}^2$или доказательству того, что решений нет. Решать такие уравнения я не умею. Склоняюсь к отсутствию решений, что подтверждает проверка на компе вплоть до
$n=2000$
