ТРИСЕКЦИЯ УГЛА – ЭЛЕГАНТНО И ПРОСТО – ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ. НАИЛУЧШИЙ ВАРИАНТ.
Михайлов Сергей Леонидович
Cmzar3008@Mail.ru
1. Сделанное ранее автором сообщение [1] доказывает разрешимость трисекции угла, так как в едином построении, выполняемом циркулем и линейкой без делений, получен угол, втрое больший исходного. Значит открывается возможность получать другим обратным построением трисекцию произвольного острого угла. Частные построения - [2].
2. В подтверждение разрешимости трисекции [1] приведем второй интересный пример этого. Если взять любой равнобедренный треугольник ΔABC с углами при его основании AC меньше 60̊ - Рис.1. - и построить такой же угол от правого, к примеру угла ^ACB=α, - угол ^BCD=α, то его внешний луч CD пересечёт луч продолжение AE от другого угла при основании в некоторой новой точке D.
Рис.1.
Геометрическое построение, содержащее в себе углы в отношении 1:3.
Углы ^ACB=α=^CAB при основании AC равнобедренного треугольника ΔABC. Добавляя справа угол ^BCD=α, получаем новый треугольник ΔACD с внешним углом ^CDE=3α=^CAD+^ACD=α+2α очевидно.(https://iimg.su/i/tyQKCB).
3. Этим создан новый треугольник ΔACD с внешним углом ^CDE=3α. Тогда мы имеем уже как минимум два различных построения, содержащие в себе углы в соотношении 1:3, что автоматически переводит «неразрешимую задачу трисекции угла» в нерешённую, при всем уважении к «доказательству Ванцеля», алгебраически бесспорному в частности!
4. Далее используется объект, называемый для краткости «r- полоса», определяемый как часть плоскости вместе с двумя параллельными прямыми на расстоянии r между ними. Существующая прямая называется «исходной» прямой, а созданную построением – называем «граничной».
5. Пусть нам дан произвольный угол ^ABC=β (Рис.2) и построим его биссектрису BO, а затем разделим угол β на 4 равные части второй биссектрисой BM. Используя небольшой произвольный отрезок r построим r- полосу от прямой BO (квантор (r)) и этим фиксируем точку M пересечения её с биссектрисой BM.
6. Из M проводим дугу радиуса 2r и определяем точку пересечения этой дуги с перпендикуляром к BM в точке M – точка L соответственно. Из L во вне проводим прямую параллельно биссектрисе BM, чем определяется точка K на луче AB и радиус R=BK также.
7. Дуга ̌ R(B) на прямой (r) создаёт точку S, а соединив точку S с вершиной B, получаем угол ^SBO=β/6 и угол ^ABS=β/3 также. Отметим, что этот результат здесь достигается прямым геометрическим построением без юстировок или итераций!
Рис.2.
Трисекция «совершенно неделимого натрое» угла ^ABC=β=60̊.
(Система Inkscape здесь). Рисунок выполнен в ручном режиме и не предназначен для измерений по нему здесь и является демонстрационным, см п.9. (https://iimg.su/i/Pcx4um).
8. Тестирование проводилось в диапазоне углов 48̊ - 84̊ и показало отличные результаты. При аккуратном и точном обращении с циркулем и линейкой без делений и проведении всех линий толщиной не свыше «толщины волоса» для рисунков площадью в 1/2 от А4 формата, абсолютная погрешность не превышает 0-0.2̊ и при трёхкратном повторении рисунка носит случайный характер. Это говорит о неминуемых, но небольших неустранимых погрешностях связанных с исполнением тестов вручную и не более.
9. По сути мы выходим так на дилемму по вопросу точности построений, достаточных для решения такого типа задач простыми инструментами и точности/погрешности их позиционирования на каждом шаге таких алгоритмов. Абсолютная погрешность накапливается при каждом следующем шаге и это неминуемо, в чём и общая проблема тогда.
10. Работа выполнялась автором исключительно по собственной инициативе, и обсуждений, консультаций или подсказок ни с кем вообще не проводилось.
11. Авторское право было закреплено мною за собою заранее.
Источники информации.
1.Сообщение автора на MathForum от 27.04.2024.
2.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике (любое издание).
