Степени двойки как сумма куба и двух квадратов

Докажите, что всякая степень двойки, начиная с четвёртой, представима в виде суммы куба натурального числа и квадратов двух натуральных чисел.

-----------------------------------------------------

И не ракета орлиная Таню берегла, и дни лежат в небе тем лесом.

Наш Вася Тараканечкин променял-таки Кацечку на Тацечку (Кацечка и Тацечка — это общеславянские ласкательные варианты имён Екатерина и Татьяна (Тетяна) соответственно).

по индукции.
База: $n = 4, \ldots, 9$ - непосредственно проверяем.
Шаг: $2^{n + 6} = 64 \cdot 2^n = 64 (a^3 + b^2 + c^2) = \left(4a\right)^3 + \left(8b\right)^2 + \left(8c\right)^2$.