ПРОСТОЕ И ОЧЕВИДНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ДЛЯ ТРИСЕКЦИИ
Михайлов Сергей Леонидович
Cmzar3008@Mail.ru
Сделанное ранее автором сообщение [1] доказывает разрешимость трисекции угла, так как в едином построении, выполняемом циркулем и линейкой без делений, получен угол, втрое больший исходного. Значит открывается возможность получать другим обратным построением трисекцию произвольного острого угла. Там же показано, что для углов 54̊ и 67.5̊ исполняется точно этим построением. Частные построения – [2].
В данном сообщении предлагается другой алгоритм.
Ниже используется объект, называемый для краткости «r- полоса» определяемый как часть плоскости вместе с двумя параллельными прямыми на расстоянии r между ними. Существующая прямая называется «исходной» прямой, а созданную построением – называем «граничной». Этот простейший объект элементарной геометрии оказался весьма продуктивным в построениях автора.
1. Пусть нам дан произвольный острый угол ^ABC=β=60 ̊ (Рис.1.), и построим r- полосу от луча BC как исходного и её граничная прямая (r) пересечёт луч AB в некоторой точке D. От неё отложим отрезок длиной 2r по прямой (r) в площади угла ^ABC получая этим точку E и отрезок DE=2r также и соединив B с E прямой получим угол ^ABE с биссектрисой BF.
https://iimg.su/i/FFB2bS
Рис.1.
Успешная трисекция «совершенно неделимого натрое» угла ^ABC=β=60 ̊. ^NBC=2/3β = 40.01 ̊, Система Inkscape. Рисунок выполнен в ручном режиме и не предназначен для измерений по нему здесь и является демонстрационным.
2. По обе стороны от неё как от исходной также построим r- полосы с граничными прямыми (f1) и (f2). Они пересекут луч AB и прямую (r) в точках G и K соответственно. Перпендикуляры из них на BF дают нам r- отрезки GL=r=KM. Из точки K на луч BC проводим перпендикуляр и создаём там точку H и отрезок HK=r, а соединяя прямой точки B и K получим отрезок BK.
3. Это создаёт далее заполнение площади угла ^ABC сплошь: – двумя равными по r-катетам и общей гипотенузе BK треугольниками ΔBKH=ΔBKM; – и третьим ΔBGL не равным им. Но если он равен им, то этим мы получим решение трисекции угла.
4. Для этого получаем среднее гипотенуз BK и BG R=(BK+BG)/2 и этим радиусом проводим вторую дугу из вершины B как центра, получая угол, аналогичный углу ^ABE (п.1.) с биссектрисой BN здесь. Она образует с лучом BC угол ^NBC=2/3β = 40.01 ̊, как показано на Рис.1. Далее можно действовать по схеме п.2-3.
5. Биссектриса BN по сути уже становится триктриссой, поскольку угол ^ABN= 60 ̊ -40.01 ̊ = 19.99 ̊. Автор не стал загромождать ценные элементы рисунка набором повторных действий по схеме п.2-3 так как эти новые геометрические элементы будут очень близки своим предыдущим аналогам на небольшом чертеже. Желающие могут повторить все описанные действия сами.
6. Тестирование проводилось в диапазоне углов 48 ̊ - 84 ̊ и показало отличные результаты за 1-2 шага выполнения алгоритма. Этот выбор даёт технически удобные построения, любые прочие углы всегда можно привести к этому диапазону. При обязательном максимально аккуратном и точном обращении с циркулем и линейкой без делений и проведении всех линий толщиной не свыше «толщины волоса» для рисунков площадью не менее 1/2 от А4 формата, абсолютная погрешность не превышает 0-0.2̊ и при трёхкратном повторении рисунка носит случайный характер. Это говорит о неминуемых, но небольших неустранимых погрешностях связанных с исполнением тестов вручную. По сути, мы выходим так на дилемму по вопросу точности построений, достаточных для решения такого типа задач простыми инструментами и точности/погрешности их позиционирования на каждом шаге таких алгоритмов. Абсолютная погрешность всегда накапливается при каждом следующем шаге любого построения и это неминуемо, в чём и общая проблема тогда любых построений «циркулем и линейкой» в плане их недостижимой абсолютной точности.
7. Работа выполнялась автором исключительно по собственной инициативе, и никаких обсуждений, консультаций или подсказок ни с кем вообще не проводилось. Авторское право было закреплено мною за собою заранее.
Источники информации.
1.Сообщение автора на MathForum от 27.04.2024.
2.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике (любое издание).
