СТАРАЯ ИДЕЯ ХОРОШО РАБОТАЕТ ДЛЯ ТРИСЕКЦИИ УГЛА.
Михайлов Сергей Леонидович.
Cmzar3008@Mail.ru
Сделанное ранее автором сообщение [1] доказывает разрешимость трисекции угла, так как в едином построении, выполняемом циркулем и линейкой без делений, получен угол, втрое больший исходного. Значит открывается возможность получать другим обратным построением трисекцию произвольного острого угла. Там же показано, что для углов 54̊ и 67.5̊ исполняется точно этим построением. Частные построения – [2].
В данном сообщении предлагается другой алгоритм.
Ниже используется объект, называемый для краткости «r- полоса» определяемый как часть плоскости вместе с двумя параллельными прямыми на расстоянии r между ними. Существующая прямая называется «исходной» прямой, а созданную построением – называем «граничной». Этот простейший объект элементарной геометрии оказался весьма продуктивным в построениях автора.
1. Пусть нам дан произвольный острый угол ^ABC=β=60 ̊ (Рис.1.), и построим r- полосы шириной r и 2r от лучей нашего угла как исходных и точка их пересечения на прямой (r) обозначена как D.
2. Радиусом BD проводим дугу ̌ BD(B) от прямой (r) до луча AB фиксируя этим точку A на нём и из точки A строим 2r- хорду этой дуги, создавая так точку E на дуге недалеко от прямой (r).
https://iimg.su/i/gvChq0
Рис.1.
Успешная трисекция «совершенно неделимого натрое» угла ^ABC=β=60 ̊. ^ABF=2/3β=39.95 ̊, Система Inkscape. Рисунок выполнен в ручном режиме и не предназначен для измерений по нему здесь и является демонстрационным.
3. Из точки E параллельно лучу AB строим отрезок прямой, пересекающий прямую (r) в некоторой точке F создавая отрезок BF также. Теперь повторяем п.2. для BF вместо BD. Если в результате этого аналог точки E окажется на прямой (r), то задача трисекции для произвольного острого угла ^ABC будет успешно решена. Иначе повторяем наши действия п.2-3. до получения решения. Обычно хватает 1-2 исполнения п.2-3., как видим на Рис.1. Погрешность в 0.05 ̊ очевидно возникает вследствие ручного позиционирования средств построения графической системы Inkscape, что всегда не просто выполнять. Вообще в построениях инструментами считается допустимой погрешность в 0.5 ̊, т.е. в 10 раз(!) больше этого значения.
4. Тестирование проводилось в диапазоне углов 48 ̊ - 84 ̊ и показало отличные результаты за 1-2 шага выполнения алгоритма. Этот выбор даёт технически удобные построения, любые прочие углы всегда можно привести к этому диапазону. При обязательном максимально аккуратном и точном обращении с циркулем и линейкой без делений и проведении всех линий толщиной не свыше «толщины волоса» для рисунков площадью не менее 1/2 от А4 формата, абсолютная погрешность не превышает 0-0.2̊ и при трёхкратном повторении рисунка носит случайный характер.
5. Это говорит о неминуемых, но небольших неустранимых погрешностях связанных с исполнением тестов вручную. По сути, мы выходим так на дилемму по вопросу точности построений, достаточных для решения такого типа задач простыми инструментами и точности/погрешности их позиционирования на каждом шаге таких алгоритмов. Абсолютная погрешность всегда накапливается при каждом следующем шаге любого построения и это неминуемо, в чём и общая проблема тогда любых построений «циркулем и линейкой» в плане их недостижимой абсолютной точности.
Работа выполнялась автором исключительно по собственной инициативе, и никаких обсуждений, консультаций или подсказок ни с кем вообще не проводилось. Авторское право было закреплено мною за собою заранее.
Источники информации.
1.Сообщение автора на MathForum от 27.04.2024.
2.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике (любое издание).
