Две r- полосы и три биссектрисы - достаточно для успеха трисекции угла.

ДВЕ r- полосы И ТРИ БИССЕКТРИСЫ ДОСТАТОЧНО ДЛЯ УСПЕХА ТРИСЕКЦИИ УГЛА.

Михайлов Сергей Леонидович.
Cmzar3008@Mail.ru

Сделанное ранее автором сообщение [1] доказывает разрешимость трисекции угла, так как в едином построении, выполняемом циркулем и линейкой без делений, получен угол, втрое больший исходного. Значит открывается возможность получать другим обратным построением трисекцию произвольного острого угла. Там же показано, что для углов 54̊ и 67.5̊ исполняется точно этим построением. Частные построения – [2].
В данном сообщении предлагается другой алгоритм.
Ниже используется объект, называемый для краткости «r- полоса» определяемый как часть плоскости вместе с двумя параллельными прямыми на расстоянии r между ними. Существующая прямая называется «исходной» прямой, а созданную построением – называем «граничной». Этот простейший объект элементарной геометрии оказался весьма продуктивным в построениях автора.
1. Пусть нам дан произвольный острый угол ^ABC=β=60 ̊ (Рис.1.), и построим r- полосы шириной r каждая от луча BC нашего угла как исходной прямой – кванторы их граничных прямых (r1) и (r2) – снизу – вверх, соответственно. Прямая (r2) пересекает луч AB в некоторой точке O. Из неё отложим отрезок 2r по прямой (r2) получая так точку D и отрезок DO=2r.
2. Соединяя точку D с вершиной B получим отрезок DB и им как радиусом проводим служебную дугу №0 – от прямой (r1) – точка E там и до луча AB также.

https://iimg.su/i/5IQ2ut
Рис.1.
Успешная трисекция «совершенно неделимого натрое» угла ^ABC=β=60 ̊. Угол, составляемый биссектрисой №3 с лучом BC – 19.78 ̊, Система Inkscape. Рисунок выполнен в ручном режиме и не предназначен для измерений по нему здесь и является демонстрационным.
Позиционирование каждого элемента проводилось автором посредством наведения курсора системы в желаемую позицию на рабочем планшете системы, что невозможно физически лучше, чем теми же «циркулем и линейкой без делений», когда качество результата точное – по транспортиру в частности.

3. Биссектриса №1 – угла ^ABE пересечёт прямую (r2) в точке F, создавая новый радиус BF и новую дугу №1, образующую точку G на прямой (r1) и угол ^ABG также. Затем выполняем снова п.3. создавая биссектрису №2 угла ^ABG и т.д. На Рис.1 логично учитываются рабочие биссектрисы алгоритма т.е. №1-3, как и было заявлено.
4. Обычно хватает 2-3 исполнения п.2-3., как видим на Рис.1. Погрешность очевидно возникает вследствие ручного позиционирования средств построения графической системы Inkscape, что всегда не просто выполнять. Вообще в построениях инструментами считается допустимой погрешность в 0.5 ̊, т.е. в 3 раз(!) больше этого значения на Рис.1.
5. Тестирование проводилось в диапазоне углов 48 ̊ - 84 ̊ и показало отличные результаты за 1-2 шага выполнения алгоритма. Этот выбор даёт технически удобные построения, любые прочие углы всегда можно привести к этому диапазону. При обязательном максимально аккуратном и точном обращении с циркулем и линейкой без делений и проведении всех линий толщиной не свыше «толщины волоса» для рисунков площадью не менее 1/2 от А4 формата, абсолютная погрешность не превышает 0-0.2̊ и при трёхкратном повторении рисунка носит случайный характер.
6. Это говорит о неминуемых, но небольших неустранимых погрешностях связанных с исполнением тестов вручную. По сути, мы выходим так на дилемму по вопросу точности построений, достаточных для решения такого типа задач простыми инструментами и точности/погрешности их позиционирования на каждом шаге таких алгоритмов. Абсолютная погрешность всегда накапливается при каждом следующем шаге любого построения и это неминуемо, в чём и общая проблема тогда любых построений «циркулем и линейкой» в плане их недостижимой абсолютной точности.
7. Работа выполнялась автором исключительно по собственной инициативе, и никаких обсуждений, консультаций или подсказок ни с кем вообще не проводилось. Авторское право было закреплено мною за собою заранее.
Источники информации.
1.Сообщение автора на MathForum от 27.04.2024.
2.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике (любое издание).