Число, которое само себя перемножило

Автор темы xenia1996 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
Форумы Список тем Новая тема
26.08.2026 16:03
xenia1996
Число, которое само себя перемножило
N - натуральное число, s - сумма его десятичных цифр. Оказалось, что N=s(s+1)(s+2). Чему может быть равно N? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.

-----------------------------------------------------

Бросить курить, завязать с выпивкой и начать ходить в спортзал Настя с Дашей ещё кое-как смогли. А вот отказаться от выкатывания пудры оказалось выше их сил.
Ответить Цитировать
26.08.2026 21:43
kitonum
Краткое решение
Покажем сначала, что если для некоторого n-значного числа N справедливо равенство N=s(s+1)(s+2), то n<7. Очевидна оценка $10^{n-1}\leN<10^n$. Также очевидно, что максимально возможное значение s равно $9n$, поэтому $s(s+1)(s+2)\le9n(9n+1)(9n+2)$. Но несложно доказывается (например мат. индукцией), что для n>6 справедливо неравенство $9n(9n+1)(9n+2)<10^{n-1}$. Перебирая натуральные числа до $10^6$, находим единственное решение N=6840



Редактировалось 1 раз(а). Последний 26.08.2026 21:45.
Ответить Цитировать
27.08.2026 16:50
xenia1996
Большое спасибо!
Цитата
kitonum
Покажем сначала, что если для некоторого n-значного числа N справедливо равенство N=s(s+1)(s+2), то n<7. Очевидна оценка $10^{n-1}\leN<10^n$. Также очевидно, что максимально возможное значение s равно $9n$, поэтому $s(s+1)(s+2)\le9n(9n+1)(9n+2)$. Но несложно доказывается (например мат. индукцией), что для n>6 справедливо неравенство $9n(9n+1)(9n+2)<10^{n-1}$. Перебирая натуральные числа до $10^6$, находим единственное решение N=6840
Большое спасибо!

-----------------------------------------------------

Бросить курить, завязать с выпивкой и начать ходить в спортзал Настя с Дашей ещё кое-как смогли. А вот отказаться от выкатывания пудры оказалось выше их сил.
Ответить Цитировать
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти