В десятичной записи некоторого натурального числа все цифры различны. Если удалить у этого числа последнюю цифру, получившееся число будет делителем исходного. Если удалить первую цифру, получившееся число тоже будет делителем исходного.

Цитата
kitonum
Конечно, на компьютере это решается очень быстро. Но чисто из спортивного интереса попробовал решить вручную.

1. Легко проверить, что если искомое число не менее чем трёхзначно, то оно оканчивается нулём.

2. Пусть искомое число $x$ состоит из $n\le10$ цифр. Тогда оно имеет вид $x=dk0$, где k - это (n-2)-значное число, состоящее из различных цифр цифр, не совпадающих ни с $d$ ни с $0$. Имеем уравнение $d\cdot{10}^{n-1}+10k=m\cdot10k$ или $d\cdot{10}^{n-2}=k\cdot(m-1)$, где m - некоторое положительное целое. Очевидно множитель $m-1$ не может быть более чем двузначным.

3. Начинаем варьировать $n$, начиная с 10. Очевидно, что для $n=10,\,9$ решений нет, т.к. $d\cdot{10}^8$ содержит слишком много двоек и пятёрок в своём разложении на простые.

4. Если $n=8$, то имеем $d\cdot10^6=k\cdot(m-1)$. Начинаем варьировать цифру $d$, начиная с $d=9$. Слева стоит семизначное число, число $k$ - шестизначное. Оценим возможные значения множителя $m-1$. Имеем $\frac{9000000}{876543}\lem-1\le\frac{9000000}{123456}$ или $11\lem-1\le72$. Возможные делители 9000000 из этого диапазона будут $\{12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 60, 64, 72\}$, а соответствующие частные будут $\{750000, 600000, 562500, 500000, 450000, 375000, 360000, 300000, 281250, 250000, 225000, 200000, 187500, 180000, 150000, 140625, 125000\}$. Но ни одно из них нам не подойдёт, т.к. содержат цифру 0 в своей записи. Точно также проверяем другие значения цифры $d$. Решений не находится.

5. Совершенно по той же схеме проверяем случай $n=7$. Решений не обнаруженр.

6. Если $n=6$, то сразу для значения $d=9$, действуя по аналогичной схеме, находим подходящее решение $k=1875$.

Ответ: x=918750