БИССЕКТРИСА В ТРИСЕКЦИИ УГЛА
Михайлов Сергей Леонидович.
Cmzar3008@Mail.ru
Сделанное ранее автором сообщение [1] доказывает разрешимость трисекции угла, так как в едином построении, выполняемом циркулем и линейкой без делений, получен угол, втрое больший исходного. Значит открывается возможность получать другим обратным построением трисекцию произвольного острого угла. Там же показано, что для углов 54̊ и 67.5̊ исполняется точно этим построением. Частные построения – [2].
В данном сообщении предлагается другой алгоритм.
Ниже используется объект, называемый для краткости «r- полоса» и определяемый как часть плоскости вместе с двумя параллельными прямыми на расстоянии r между ними. Существующая прямая называется «исходной» прямой, а созданную построением – называем «граничной». Этот простейший объект элементарной геометрии оказался весьма продуктивным в построениях автора.
1. Пусть нам дан произвольный острый угол ^ABC=β Рис.1., и по обе стороны от луча BC строим r- полосы, получая прямые (r) и (r₁) соответственно. Затем от луча AB в площади угла строим полосу шириной 2r с граничной полосой (2r) имеющей точку пересечения D с прямой (r₁). Этим получаем дугу радиусом BD, создающей точку E на прямой (r) и точку F на луче AB соответственно.
2. Соединив F с B получим угол ^FBE и построим его биссектрису. Угол между нею и BD делим пополам и этим создаём на прямой (r₁) точку G и новый радиус BG также. Затем строим аналогичную дугу и две новые точки её пересечения с (r) и AB и биссектрису этого угла также. Затем делим угол между двумя построенными биссектрисами пополам и получаем третий радиус в итоге этого.
https://iimg.su/i/CsxyIq
Рис.1.
Трисекция острого угла ^ABC=β (=72̊) ^GBC=24.1̊ ему соответствует дуга ̌ MS(BG), заполненная равными равнобедренными треугольниками ΔMBG=ΔSBG по трём равным сторонам. Угол ^GBC равен половине ^MDG и потому равен β/3. Дуги пронумерованы от 0 до 2. Рисунок выполнен в ручном режиме и не предназначен для измерений по нему здесь и является демонстрационным.
3. Результат достигается, когда две хорды дуги решения, отходящие от своей биссектрисы до прямой (r) и луча AB будут обе равными 2r, очевидно. Тогда площадь дуги решения заполнена сплошь двумя равными равнобедренными треугольниками с основанием 2r соответственно. Это и означает решение трисекции β- угла построением циркулем и линейкой без делений.
4. Тестирование проводилось в диапазоне углов 48 ̊ - 84 ̊ и показало отличные результаты выполнения алгоритма. Только для угла 84 ̊ потребовалась дуга 3 дополнительно. Этот выбор углов тестирования даёт технически удобные построения, любые прочие углы всегда можно привести к этому диапазону.
5. При обязательном максимально аккуратном и точном обращении с циркулем и линейкой без делений и проведении всех линий толщиной не свыше «толщины волоса» для рисунков площадью не менее 1/2 от А4 формата, абсолютная погрешность не превышает 0-0.1 ̊ и при трёхкратном повторении рисунка носит случайный характер.
6. Это говорит о неминуемых, но небольших неустранимых погрешностях связанных с исполнением тестов вручную. По сути, мы выходим так на дилемму по вопросу точности построений, достаточных для решения такого типа задач простыми инструментами и точности/погрешности их позиционирования на каждом шаге таких алгоритмов. Абсолютная погрешность всегда накапливается при каждом следующем шаге любого построения и это неминуемо, в чём и общая проблема тогда любых построений «циркулем и линейкой» в плане их недостижимой абсолютной точности.
7. Работа выполнялась автором исключительно по собственной инициативе, и никаких обсуждений, консультаций или подсказок ни с кем вообще не проводилось. Авторское право было закреплено мною за собою заранее.
Источники информации.
1.Сообщение автора на MathForum от 27.04.2024. – Рис. – https:/iimg.su/i/5IQ2ut.
2.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике (любое издание)
