Решить диофантово уравнение

Автор темы zhuravlyov_eugene 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий и рекламы в форуме26.03.2008 03:07
ОбъявлениеРекомендации по использованию теха в нашем форуме15.04.2017 21:40
ОбъявлениеВычисление параметров смешанной модели15.11.2017 16:57
25.08.2008 16:46
Решить диофантово уравнение
Найти целые числа $x, y, z, t, u, v$, удовлетворяющих следующей системе уравнений:
$ \left\{ \begin{array}{l} x^2 - y^2 + z^2 - u^2 + v^2 - t^2 = 0 \\ xy + zt - uv = 0 \end{array} $

либо доказать,что система неразрешима в целых числах.

С уважением,
Евгений



Редактировалось 1 раз(а). Последний 25.08.2008 17:10.
25.08.2008 20:19
...
Это тоже из области физико-химии растворов?...
25.08.2008 20:45
сколько угодно
Систему можно трактовать так, что векторы $(x,z,v)$ и $(y,t,-u)$ имеют равную длину и перпендикулярны.
Решением, например, являются единичные векторы: $(x,z,v)=(1,0,0)$ и $(y,t,-u)=(0,1,0)$ и множество других.
26.08.2008 09:37
Систему можно трактовать так...
Простите меня за неточность формулировки задачи, maxal... но необходимо найти ненулевые решения данной системы, т.е ни одно из $x, y, z, t, u, v$ не должны быть равны нулю...



Редактировалось 1 раз(а). Последний 26.08.2008 09:42.
26.08.2008 09:40
Это тоже из области физико-химии растворов?...
Ваш юмор мне понятен. smile Нет,это из области зависимостей "структура-свойство" для органических соединений.
С уважением,
Евгений



Редактировалось 1 раз(а). Последний 26.08.2008 09:41.
26.08.2008 10:15
ненулевые решения
Ненулевых решений тоже полно. Например, в частности, порождаемых пифагоровыми тройками;
$(x,z,v)=(y,t,u)=(3,4,5)$
26.08.2008 16:43
Да, конечно...
Да, конечно, maxal, пифагоровы тройки являются решением этой системы, но это решение вырождено-две тройки чисел совпадают. Задача в том чтобы найти шестерку (т.е. невырожденное решение) различных целых отличных от нуля чисел x, y, z, t, u, v... либо доказать, что таких чисел нет.
Можно поставить более сильное условие: найти шестерку различных положительных целых чисел (ненулевых), удовлетворяющих данной системе...

С уважением,
Евгений



Редактировалось 1 раз(а). Последний 26.08.2008 21:50.
27.08.2008 07:48
решение в различных положительных числах
вот тогда такое решение:

$(x,z,v) = (1, 9, 4)$, $(y,t,u) = (5, 3, 8)$

$(x,z,v) = (3, 4, 30)$, $(y,t,u) = (18, 24, 5)$

и т.д. и т.п.

или вы сейчас еще какое-нибудь ограничение вспомните?
27.08.2008 08:41
Cпасибо за помощь
Большое спасибо, maxal за помощь... Только один вопрос: Вы нашли эти решения подбором или у Вас есть общая формула ?



Редактировалось 1 раз(а). Последний 27.08.2008 09:49.
27.08.2008 12:27
формулы нет
общей формулы нет
но уже из одного решения можно получить бесконечное их множество просто домножая все значения переменных на одну и ту же константу.

а вот небольшой списочек примитивных решений (у которых НОД всех значений равен 1), с точностью до одновременной циклической перестановки обоих векторов:

[1, 4, 9] [5, 8, 3]
[1, 4, 10] [8, 7, 2]
[3, 4, 10] [6, 8, 5]
[3, 9, 12] [11, 7, 8]
[1, 4, 15] [13, 8, 3]
[3, 4, 15] [9, 12, 5]
[1, 8, 14] [12, 9, 6]
[1, 7, 16] [13, 11, 4]
[6, 8, 15] [9, 12, 10]
[4, 11, 14] [13, 8, 10]
[1, 9, 16] [7, 15, 8]
[2, 13, 14] [18, 6, 3]
[4, 10, 17] [12, 15, 6]
[6, 12, 15] [7, 16, 10]
[3, 4, 20] [12, 16, 5]
[5, 8, 19] [15, 12, 9]
[5, 13, 16] [15, 9, 12]
[3, 12, 18] [16, 11, 10]
[1, 11, 20] [17, 13, 8]
[2, 16, 17] [22, 7, 4]
[3, 13, 20] [21, 11, 4]
[1, 10, 22] [18, 15, 6]
[6, 15, 18] [17, 10, 14]
[2, 5, 24] [14, 20, 3]
[5, 16, 18] [20, 13, 6]
[3, 12, 22] [24, 5, 6]
[3, 4, 25] [15, 20, 5]
[2, 13, 22] [19, 14, 10]
[3, 9, 24] [19, 17, 4]
[4, 9, 25] [16, 21, 5]
[5, 11, 24] [7, 23, 12]
[6, 8, 25] [15, 20, 10]
[7, 17, 20] [19, 11, 16]
[2, 19, 20] [26, 8, 5]
[5, 16, 22] [20, 13, 14]
[2, 11, 26] [21, 18, 6]
[1, 5, 28] [13, 25, 4]
[5, 16, 23] [25, 8, 11]
[2, 10, 27] [26, 11, 6]
[4, 10, 27] [28, 5, 6]
[5, 12, 26] [10, 24, 13]
[1, 14, 26] [22, 17, 10]
[1, 16, 25] [9, 24, 15]
[3, 12, 27] [29, 4, 5]
[3, 12, 27] [19, 20, 11]
[8, 17, 23] [24, 9, 15]
[8, 19, 22] [21, 12, 18]
[3, 4, 30] [18, 24, 5]
[1, 13, 28] [23, 19, 8]
[4, 17, 26] [23, 16, 14]
27.08.2008 16:28
Думаю, мне этого будет достаточно
Понятно, думаю, мне этого будет достаточно. Еще раз благодарю за то что уделили мне время и за помощь.

Евгений



Редактировалось 1 раз(а). Последний 27.08.2008 21:35.
19.10.2013 11:23
Формула есть!
Лучше поздно чем никогда, поэтому напишу ка я формулу решения этого уравнения. Буду надеяться, что нигде не ошибусь. Степень, мне тяжело набирать, поэтому заменю умножением само на себя. Если кто не совсем поймёт, зайдите на форум Академгородка, в раздел по летающим тарелкам, я там в виде рисунка тоже скину. Значит так! Система диофантовых уравнений:
$xx-yy+zz-tt+qq-uu=0$
$xy+zt-qu=0$
Имеет решения и их можно выразить через целые числа $a,b,n,k$ , для записи проще выразим через :
$p=aa-3bb$
$s=2ab-4bb$
$j=3bb-4ab+aa$
Тогда формула решения этого уравнения имеет следующий вид:
$x=[j(pp-4ps+3ss)-(p-s)(3pp-4ps+ss)]kk+2(j-2(p-s))(p-s)kn+(j-p+s)nn$
$y=(p-s)(4j(p-s)-3pp+4ps-ss)kk+2(p-s)(j-2(p-s))kn-(p-s)nn$
$z=[j(pp-4ps+3ss)+s(3pp-4ps+ss)]kk+2(p-s)(2s+j)kn+(j+s)nn$
$t=[j(p+s)-3pp+4ps-ss](p-s)kk+2[jp-2(p-s)(p-s)]kn+(j-p+s)nn$
$q=[j(5pp-8ps+3ss)-(p-s)(3pp-4ps+ss)]kk+2[j(2p-s)-2(p-s)(p-s)]kn+(j-p+s)nn$
$u=[j(pp-4ps+3ss)+(2s-p)(3pp-4ps+ss)]kk+2(p-s)(j+2(2s-p))kn+(j+2s-p)nn$

Формулы длинные, поэтому подбором их найти не получалось. Надо было решить это уравнение!
Кстати, после подстановок чисел, для получения примитивных решений может возникнуть необходимость, сократить на наиболее общий делитель.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 19.10.2013 11:35.
20.10.2013 10:33
Простенько как-то, но всё же
очень хорошо, что Вы записали формулу. Спасибо большое.
Попутно хотел Вас попросить, если Вас не затруднит, записать формулу для корней уравнения в целых числах:
$x^3+y^3+z^3+t^3=u^3$
И, дайте пжлста ссылку на форум Академгородка по летающим тарелкам.
С уважением.
20.10.2013 11:12
Д.
Задачу для сумм кубов решил для частного симметричного случая, когда 4 или 5 слагаемых. Я выбрал красивые, когда решения задаются Пифагоровыми тройками. Хотя решения можно записать для любого числа слагаемых. Кстати там на форуме Академгорода раздел Наука laite (лайт). Это раздел по не традиционной научной ориентации. Меня туда поместили за то что решил слишком много уравнений.
20.10.2013 11:53
а какие проблемы со степенями?
individ, степень пишется в формулах (ТеХ) после значка ^. Он есть на клавиатуре. Если показатель состоит из нескольких символов, заключите его в фигурные скобки.

$x^3, y^{10}$

Если непонятно, нажмите на кнопку "Цитата" и в окне редактирования ответа увидите исходное написание.

У вас вообще формулы нормально отображаются?

дважды два - не всегда 5
20.10.2013 11:55
Д.
Некоторые формулы мне не видно или такая абракадабра, что не пойму что там.
20.10.2013 13:23
зависит от браузера.
Посмотрите в Правилах, там все написано. И "Про ТеХ". Вверху страницы.

Я сейчас пишу с планшета (андроид), формулы - в строку. Но с компа все хорошо.

дважды два - не всегда 5
21.10.2013 00:01
Что-то не получается
Цитата
individ
Лучше поздно чем никогда, поэтому напишу ка я формулу решения этого уравнения. Буду надеяться, что нигде не ошибусь. Степень, мне тяжело набирать, поэтому заменю умножением само на себя. Если кто не совсем поймёт, зайдите на форум Академгородка, в раздел по летающим тарелкам, я там в виде рисунка тоже скину. Значит так! Система диофантовых уравнений:
$xx-yy+zz-tt+qq-uu=0$
$xy+zt-qu=0$
Имеет решения и их можно выразить через целые числа $a,b,n,k$ , для записи проще выразим через :
$p=aa-3bb$
$s=2ab-4bb$
$j=3bb-4ab+aa$
Тогда формула решения этого уравнения имеет следующий вид:
$x=[j(pp-4ps+3ss)-(p-s)(3pp-4ps+ss)]kk+2(j-2(p-s))(p-s)kn+(j-p+s)nn$
$y=(p-s)(4j(p-s)-3pp+4ps-ss)kk+2(p-s)(j-2(p-s))kn-(p-s)nn$
$z=[j(pp-4ps+3ss)+s(3pp-4ps+ss)]kk+2(p-s)(2s+j)kn+(j+s)nn$
$t=[j(p+s)-3pp+4ps-ss](p-s)kk+2[jp-2(p-s)(p-s)]kn+(j-p+s)nn$
$q=[j(5pp-8ps+3ss)-(p-s)(3pp-4ps+ss)]kk+2[j(2p-s)-2(p-s)(p-s)]kn+(j-p+s)nn$
$u=[j(pp-4ps+3ss)+(2s-p)(3pp-4ps+ss)]kk+2(p-s)(j+2(2s-p))kn+(j+2s-p)nn$
.
Вот результаты моих расчетов.
a  b  n   k   p    s    j    x     y    z     t      q    u      F      G
1  2  1   1  -11  -12   5   148   46   332  -204  -174   348   -2432   -368
1  2  1   2  -11  -12   5   592  175  1425  -600  -500  1500   -9536  -1400
В таблице F,G - вычисленные по формулам значения левых частей уравнений. Вполне возможно, что я ошибся, но проверял весьма тщательно. Нужно разобраться, как эти формулы работают.
21.10.2013 11:03
Д.
Вы ошиблись когда считали Х. Для случая $a=1, b=2$ получим следующие формулы:
$x=146kk+6kn+4nn$
$y=41kk+6kn-nn$
$z=377kk-38kn-7nn$
$t=-94kk-114kn+4nn$
$q=-74kk-104kn+4nn$
$u=398kk-42kn-8nn$
Видно было сразу, в нижних формулах только Х не был кратный 5.
21.10.2013 13:33
Формулы работают
Цитата
individ
Вы ошиблись когда считали Х. .
Действительно, коэффициент при nn у меня имел другой знак. Исправил и проверил при $ a, b, n, k, \in \{ 1, 2, ..., 50 \} $ - рассчитанные значения $ x, y, z, t, q, u $ удовлетворяют заданным уравнениям. Думаю, что проверка прямой подстановкой даст положительный результат.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти